如图.抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于A点.过点A的直线y=$\frac{1}{2}$x+1与抛物线交于另一点B.过点B作BC⊥x轴.垂足为点C(3.0).又抛物线的对称轴为x=$\frac{17}{10}$．(1)求抛物线的函数关系式,(2)动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动.过点P作PN⊥x轴.交直线AB于点M.交抛物线于点N．设点P移动的时� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．

如图，抛物线y=ax²+bx+c与y轴交于A点，过点A的直线y=$\frac{1}{2}$x+1与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0），又抛物线的对称轴为x=$\frac{17}{10}$．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N．设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）在（2）的条件下（不考虑点O，点C重合的情况），连结CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否为菱形？请说明理由．

分析（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得答案；
（3）根据平行四边形的对边相等，可得关于t的方程，根据解方程，可得答案；根据菱形的邻边相等，可得答案．

解答（1）依题意，得A（0，1），B（3，$\frac{3}{2}$），又抛物线的对称轴为x=$\frac{17}{10}$，则
$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{9a+3b+c=\frac{3}{2}}\\{-\frac{b}{2a}=\frac{17}{10}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{5}{4}}\\{b=\frac{17}{4}}\\{c=1}\end{array}\right.$．
所以抛物线的函数关系式为y=-$\frac{5}{4}$x²+$\frac{17}{4}$x+1．
（2）由题意知OP=t，则P（t，0），M（t，$\frac{1}{2}$t+1），N（t，-$\frac{5}{4}$t²+$\frac{17}{4}$t+1），
所以s=MN=NP-MP=-$\frac{5}{4}$t²+$\frac{17}{4}$t+1-（$\frac{1}{2}$t+1）=-$\frac{5}{4}$t²+$\frac{15}{4}$t，
其中t的取值范围是0≤t≤3．
即s与t的函数关系式s=-$\frac{5}{4}$t²+$\frac{15}{4}$t（0≤t≤3）．
（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，此时有-$\frac{5}{4}$t²+$\frac{15}{4}$t=$\frac{5}{2}$，解得t₁=1，t₂=2．
所以当t=1或t=2时，四边形BCMN为平行四边形．
当t=1时，平行四边形BCMN是菱形，当t=2时，平行四边形BCMN不是菱形，理由如下：
①当t=1时，P（1，0），M（1，$\frac{3}{2}$），N（1，4），所以MP=$\frac{3}{2}$，NP=4，则MN=NP-MP=$\frac{5}{2}$．
又在Rt△MPC中，MC=$\sqrt{M{P}^{2}+P{C}^{2}}$=$\frac{5}{2}$，所以MN=MC，
此时平行四边形BCMN是菱形．
②当t=2时，MP=2，NP=$\frac{9}{2}$，则MN=NP-MP=$\frac{5}{2}$．
又在Rt△MPC中，MC=$\sqrt{M{P}^{2}+P{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$，所以MN≠MC，
此时平行四边形BCMN不是菱形．

点评本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用平行四边形的对边相等得出关于t的方程是解题关键；利用菱形的邻边相等是解题关键．

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