题目内容

2.我们学习了整式的乘法后,可进行如下计算:(a+b)1=a+b;(a+b)2=a2+2ab+b2;(a+b)3=(a+b)2(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3;
…
如果我们对(a+b)n (n取正整数)的计算结果中各项系数进一步研究,可以列出下表:
(a+b)1=a+b11
(a+b)2=a2+2ab+b2121
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b31331
……
上表称为“杨辉三角”,揭示了二项式乘方展开式的规律.
(1)请仔细观察表中的规律,写出(a+b)4展开式中所缺的系数:(a+b)4=a4+a3b+a2b2+ab3+b4
(2)请写出(a+b)5的展开式:(a+b)5=(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
(3)当n=1、2、3、4、…时,(a+b)n展开式的第三项系数分别为0、1、3、6、…,猜想(a+b)n展开式的第三项系数为$\frac{n(n-1)}{2}$(用含n的代数式表示);
(4)当n=1、2、3、4、…时,(a+b)n展开式的各项系数之和分别为2、4、8、16、…,猜想(a+b)n展开式的各项系数之和为2n(用含n的代数式表示).

分析 (1)根据“杨辉三角”中系数规律确定出所求系数即可;
(2)根据“杨辉三角”中系数规律确定出所求展开式即可;
(3)根据“杨辉三角”中系数规律确定出所求系数,猜想得到结果即可;
(4)根据“杨辉三角”中系数规律确定出所求系数,并求出系数之和即可.

解答 解:(1)(a+b)4展开式中所缺的系数:(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4;
(2)(a+b)5的展开式:(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5;
(3)当n=1、2、3、4、…时,(a+b)n展开式的第三项系数分别为  0、1、3、6、…,猜想(a+b)n展开式的第三项系数为$\frac{n(n-1)}{2}$;
(4)当n=1、2、3、4、…时,(a+b)n展开式的各项系数之和分别为2、4、8、16、…,猜想(a+b)n展开式的各项系数之和为2n.
故答案为:(2)(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5;(3)0,1,3,6,$\frac{n(n-1)}{2}$;(4)2,4,8,16,2n

点评 此题考查了整式的混合运算,弄清“杨辉三角”中系数规律是解本题的关键.

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