Question

11．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，把△BCD沿对角线BD翻折得到△BC′D，连接AC′，则线段AC′的长度为（　　）

• A． $\frac{12}{5}$
• B． 4
• C． $\frac{12\sqrt{5}}{5}$
• D． 2$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 设AD与BC′交于点F．根据矩形的性质得出AD=BC=8，AD∥BC，∠BAD=90°．设FD=x，则AF=8-x，根据折叠的性质得到∠CBD=∠C′BD．由AD∥BC，得出∠ADB=∠CBD，那么∠C′BD=∠ADB，BF=FD=x．在直角△AFB中根据勾股定理得出x²=（8-x）²+16，解方程求出x=5，则BF=FD=5，AF=8-x=3．然后根据△AFC′∽△DFB，利用相似三角形对应边成比例求出AC′=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．

解答 解：如图，设AD与BC′交于点F．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=8，AD∥BC，∠BAD=90°．
设FD=x，则AF=8-x，
∵把△BCD沿对角线BD翻折得到△BC′D，
∴∠CBD=∠C′BD．
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠C′BD=∠ADB，
∴BF=FD=x．
在直角△AFB中，∵∠BAF=90°，AB=4，AF=8-x，BF=x，
∴x²=（8-x）²+16，
解之得，x=5，
则BF=FD=5，AF=8-x=3．
∵△AFC′∽△DFB，
∴$\frac{AC′}{BD}$=$\frac{AF}{DF}$，即$\frac{AC′}{\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}}$=$\frac{3}{5}$，
解得AC′=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．
故选C．

点评 本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应角相等．同时考查了矩形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理．