Question

16．如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，∠BAC的平分线交BC于点E，F是AB上一点．
（1）若∠ACD=60°，BE=1，求AC的长；
（2）若EF=EC，求证：AC=DC+BF．

Answer 1

分析 （1）先在RT△ABE中求出AB，再在RT△ABC中求出AC即可．
（2）先证明△AEB≌△AEH，再证明△EBH≌△EHC即可解决问题．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠ACD=60°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
在RT△ABE中，∵∠ABE=90°，BE=1，∠BAE=30°，
∴AB=$\sqrt{3}$BE=$\sqrt{3}$，
在RT△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=$\sqrt{3}$，∠ACB=30°，
∴AC=2AB=2$\sqrt{3}$．
（2）延长AB使得BN=BF，连接EN，作EH⊥AC于H，
∵BF=BN，BE⊥FN，
∴EF=EN=EC，
在△AEB和△AEH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAB=∠EAH}\\{∠ABE=∠AHE=90°}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△AEH，
∴BE=EH，AB=AH，
在RT△EBN和RT△EHC中，
$\left\{\begin{array}{l}{EB=EH}\\{EN=EC}\end{array}\right.$，
∴△EBN≌△EHC，
∴BN=HC，
∴AC=AH+HC=AB+NB=DC+BF．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、矩形的性质、直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．