Question

12．如图，正方形ABCD中，点E、F为对角线BD上两点，DE=BF，若BF=2，tan∠DAE=$\frac{1}{2}$，求四边形AECF的周长．

Answer 1

分析 如图，连接AC交BD于点O．，作EM⊥AD于M，先证明四边形AECF是菱形，在RT△AME中，求出AM、EM即可解决问题．

解答 解：如图，连接AC交BD于点O．，作EM⊥AD于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA=OC=OB=OD，∠ADB=45°
∵DE=BF，
∴OE=OF，OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形，∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形，
∴AE=EC=CF=AF，
在RT△DME中，∵∠DME=90°，∠MDE=45°，DE=BF=2，
∴DM=ME=$\sqrt{2}$，
∵tan∠EAM=$\frac{1}{2}$=$\frac{EM}{AM}$，
∴AM=2EM=2$\sqrt{2}$，
∴AE=$\sqrt{A{M}^{2}+E{M}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴四边形AECF的周长=4AE=4$\sqrt{10}$．

点评 本题考查正方形的性质、菱形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．