Question

1．如图1，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=$4\sqrt{3}$，∠ABO=30°，动点P在线段AB上从点A向终点B以每秒$\sqrt{3}$个单位的速度运动，设运动时间为t秒，在直线OB上取两点M、N作等边△PMN．
（1）求当等边△PMN的顶点M运动到与点O重合时t的值．
（2）如果取OB的中点C，以OC为边在Rt△AOB内部作如图2所示的矩形OCDE，点D在线段AB上，设等边△PMN与矩形OCDE重叠部分的面积为S，请求出S与t（0≤t≤4）的函数关系式．
（3）在动点P从A向B的运动过程中，将△PMN沿着PN折叠，点M与点H重合，请问，是否存在点P和点H，使△PDH是等腰三角形？若存在，请直接写出对应的t的值；若不存在，请说明理由．
（4）当点P到达D时，将△PMN绕着点P旋转，射线PM、PN与线段OB交于S、T两点，当∠BDT=15°时，线段TB和OS满足什么数量关系？

Answer 1

分析 （1）利用直角三角形中30°所对的边是斜边的一半即可求出AP，进而求出t的值；
（2）分三种情形讨论①当0≤t≤1时，S=S_{四边形EONG}，如图2所示．②当1＜t＜2时，S=S_{五边形IFONG}，如图3所示．③当2＜t≤4时，s=s_{五边形IMCFG}=s_梯形MCDI-s_△DGF如图4所示分别求出面积即可．
（3）根据△PDH是等腰直角三角形，可以证明点N与点C重合，即可解决问题．
（4）利用△DCT是等腰直角三角形求出BT，利用△BDS是等腰三角形求出BS，OS即可解决问题．

解答 解：（1）由题意作图，设当点M运动到与点O重合时，如图1所示，
∵△PMN是等边三角形，
∴∠POB=60°；
∵在Rt△AOB中，
∠AOB=90°，∠ABO=30°，
∴∠A=60°，∠AOP=30°，
∴∠AP0=90°，
在Rt△APO中，AP=$\frac{1}{2}$AO=2$\sqrt{3}$，
∴t=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$=2，
∴当等边△PMN的顶点M运动到与点O重合时t的值为2；
（2）设PN与DE相交于点G，
①当0≤t≤1时，S=S_{四边形EONG}，如图2所示：
∵AP=$\sqrt{3}$t，
∴PD=4$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，PB=8$\sqrt{3}-\sqrt{3}$t，PM=PN=MN=8-t，DG=4-t
∴EG=ED-GD=6-（4-t）=2+t，
∴ON=OB-NB，
∴ON=12-（8-t）=4+t，
S=$\frac{1}{2}$（2+t+4+t）×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$t+6$\sqrt{3}$；
②当1＜t＜2时，S=S_{五边形IFONG}，如图3所示：
∵AP=$\sqrt{3}$t，
∴AF=2$\sqrt{3}$t，
∴OF=4$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$t，
∴EF=2$\sqrt{3}$-（4$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$t）
=2$\sqrt{3}$t-2$\sqrt{3}$，
∴EI=2t-2，
∴S=S_梯形EONG-S_△EFI
=2$\sqrt{3}$t+6$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$（2t-2）×（2$\sqrt{3}$t-2$\sqrt{3}$）
=-2$\sqrt{3}$t²+6$\sqrt{3}$t+4$\sqrt{3}$；
③2＜t≤4时，如图4所示：
s=s_{五边形IMCFG}=s_梯形MCDI-s_△DGF=$\frac{1}{2}$（8-2t+10-2t）•2$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$•（4-t）$•\sqrt{3}$（4-t）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²+10$\sqrt{3}$．
综上所述s=$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}t+6\sqrt{3}}&{（0≤t≤1）}\\{-2\sqrt{3}{t}^{2}+6\sqrt{3}t+4\sqrt{3}}&{（1＜t≤2）}\\{-\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}+10\sqrt{3}}&{（2＜t≤4）}\end{array}\right.$
（3）存在．
如图5，∵△PDH是等腰三角形，
∴∠DPH=∠PHD=30°，∵∠NPH=∠NHP=60°，
∴∠NPD=∠NDH=30°，
∵DP=DH，NP=NH，
∴ND垂直平分PH，
∵CD⊥PH，
∴C、N共点，
∴∠DCP=∠DCH=∠DPC=30°，
∴PD=2$\sqrt{3}$，
t=2，
∴t=2时，△PDH是等腰三角形．
（4）如图5，∵∠TDB=15°，∠B=30°，
∴∠DTB=∠TDB+∠B=45°，
∵DC⊥OB，
∴DC=CT=2$\sqrt{3}$，BT=BC-CT=6-2$\sqrt{3}$，
∵∠SDB=∠SDT+∠YDB=75°，
∴∠DSB=180°-∠SDB-∠B=75°，
∴∠BDS=∠BSD，
∴SB=BD=4$\sqrt{3}$，
∴OS=OB-BS=12-4$\sqrt{3}$，
∴OS=2BT，
∴∠BDT=15°时，线段TB和OS满足OS=2BT．

点评 本题考查等边三角形、直角三角形的有关性质、特殊角的三角函数等知识，综合性比较强，学会正确画出图形是解决问题的关键．