题目内容
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如图，△ABC是边长为4的等边三角形，AD⊥BC于D，B点与坐标原点重合，C点坐标为（4、0），点P、Q分别为B、C两点同时出发，点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为t（s）．（1）求A点坐标；
（2）t为何值时，PQ⊥AC；
（3）设△PQD的面积为S，求S与t的函数关系式，并求t为何值时，S有最大值，最大值是多少？
（4）探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系，写出相应位置关系的取值范围．
分析 （1）根据等边三角形的性质，可得出OD、AD的长度，继而得出点A的坐标；
（2）如图1，由△ABC为等边三角形得∠C=60°，所以当∠CPQ=30°时，PQ⊥AC，根据含30度的直角三角形三边的关系得CQ=$\frac{1}{2}$PC，即2t=$\frac{1}{2}$（4-t），然后解方程即可；
（3）根据CQ=2t，∠C=60°，得出QE=CQ•sin60°=$\sqrt{3}$t，进而求出面积即可．然后利用二次函数的性质即可求出△PQD面积的最大值；
（4）根据（1）中求得的值即可分情况进行讨论．
解答 
解：（1）∵△ABC是边长为4的等边三角形，AD⊥BC于D，
∴OC=4，OD=CD=2，
∴AD=$\sqrt{3}$OC=2$\sqrt{3}$，
∴点A的坐标为（2，2$\sqrt{3}$）；
（2）如图1，BP=tcm，CQ=2tcm，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠C=60°，
∴当∠CPQ=30°时，PQ⊥AC，
∴CQ=$\frac{1}{2}$PC，即2t=$\frac{1}{2}$（4-t），解得t=$\frac{4}{5}$，
即当t=$\frac{4}{5}$时，PQ⊥AC；
（3）如图2，作QE⊥DC于E，
∵当0＜t＜2时，
CQ=2t，∠C=60°，
∴QE=CQ•sin60°=$\sqrt{3}$t，
PD=2-t，
∴S△PQD=$\frac{1}{2}$×PD×EQ=$\frac{1}{2}$（2-t）•$\sqrt{3}$t=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t2+$\sqrt{3}$t=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（t-1）2+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即S=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（t-1）2+$\frac{\sqrt{3}}{2}$（0＜t＜2）．
∴当t=1时，△PQD面积有最大值为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（4）显然，不存在x的值，使得以PQ为直径的圆与AC相离，
当Q在AB上时，显然PQ不垂直于AC，
由（1）知，当t=$\frac{4}{5}$（Q在AC上）时，PQ⊥AC．
如图1，当P′Q′⊥AB时，BP=t，BQ′=$\frac{1}{2}$，AC+AQ′=2t；
∵AC=4，
∴AQ′=2x-4，
∴2t-4+$\frac{1}{2}$t=4，
∴t=$\frac{16}{5}$，
当t=$\frac{16}{5}$时P′Q′⊥AB．
综上所述，当t=$\frac{4}{5}$，PQ⊥AC；t=$\frac{16}{5}$时，PQ⊥AB．
所以当x=$\frac{4}{5}$或$\frac{16}{5}$时，以PQ为直径的圆与AC相切，
当0≤x＜$\frac{4}{5}$或$\frac{4}{5}$＜x＜$\frac{16}{5}$或$\frac{16}{5}$＜x≤4时，以PQ为直径的圆与AC相交．
点评 此题综合考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质，三角形面积的求法，圆与直线的位置关系，解题的关键是用动点的时间t和速度表示线段的长度，本题有一定的综合性，难度中等．
如图所示，AC⊥BD，O为垂足，试说明AB2+CD2=AD2+BC2．
如图，⊙O的直径AB=2，P是上半圆（A、B除外）上任一点，∠APB的平分线交⊙O于C，弦EF过AC、BC的中点M、N，则EF的长是$\sqrt{3}$．
如图，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，且y关于x的函数图象大致如图：
如图，AB为⊙O的直径，AB=2BC=2，DE=DB，则DB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
如图，二次函数的图象与x轴交于A（-3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点．