Question

20．如图，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=60°，AB=11，AD=2，求BC的长．

Answer 1

分析 作DM⊥BC，AN⊥DM垂足分别为M、N，易知四边形MNAB是矩形，分别在RT△ADN和RT△CDM中求出AN，CM即可．

解答 解：如图作DM⊥BC，AN⊥DM垂足分别为M、N．
∵∠B=∠NMB=∠MNA=90°，
∴四边形MNAB是矩形，
∴MN=AB=11，AN=BM，∠BAN=90°，
∵∠C+∠B+∠ADC+∠BAD=360°，∠C=60°，∠B=∠ADC=90°，
∴∠DAN=∠BAD-∠BAN=30°，
在RT△AND中，∵AD=2，∠DAN=30°，
∴DN=$\frac{1}{2}$AD=1，AN=$\sqrt{A{D}^{2}-D{N}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
在RT△DMC中，∵DM=DN+MN=12，∠C=60°，
∴∠CDM=30°，
∴CD=2MC，设MC=x，则CD=2X，
∵CD²=DM²+CM²，
∴4x²=x²+12²，
∵x＞0
∴x=4$\sqrt{3}$，
∴CM=4$\sqrt{3}$，BM=AN=$\sqrt{3}$，
∴BC=CM+BM=4$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$=5$\sqrt{3}$．

点评 本题考查矩形的判定、勾股定理、直角三角形30度角的性质，构造直角三角形是解决问题的关键．