Question

7．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，BP⊥AD于点P，AB=5，BP=1，AC=9，说明∠ABP=2∠ACB的理由．

Answer 1

分析 先延长BP，交AC于E，根据已知条件、结合ASA易证△ABP≌△AEP，从而有BP=PE，AE=AB，∠AEB=∠ABE，易求BE=4，AE=5，那么CE=4，于是可知△BCE是等腰三角形，那么∠EBC=∠C，结合三角形外角性质可证∠ABE=2∠C．

解答 证明：延长BP，交AC于E，
∵AD平分∠BAC，BP⊥AD，
∴∠BAP=∠EAP，∠APB=∠APE，
在△ABP与△AEP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAP=∠EAP}\\{AP=AP}\\{∠APB=∠APE}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△AEP，
∴BP=PE，AE=AB，∠AEB=∠ABE，
∴BE=BP+PE=4，AE=AB=5，
∴CE=AC-AE=9-5=4，
∴CE=BE，
∴△BCE是等腰三角形，
∴∠EBC=∠C，
又∵∠ABP=∠AEB=∠C+∠EBC，
∴∠ABP=2∠C．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形外角的性质．关键是作辅助线，求证△BCE是等腰三角形．