Question

8．如图，正三角形ABC内接于⊙O，P是BC上的一点，且PB＜PC，PA交BC于E，点F是PC延长线上的点，CF=PB，AB=$\sqrt{13}$，PA=4．
（1）求证：△ABP≌△ACF；
（2）求证：AC²=PA•AE；
（3）求PB和PC的长．

Answer 1

分析 （1）先根据等边三角形的性质得到AB=AC，再利用圆的内接四边形的性质得∠ACF=∠ABP，于是可根据“SAS”判断△ABP≌△ACF；
（2）先根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，再根据圆周角定理得∠APC=∠ABB=60°，加上∠CAE=∠PAC，于是可判断△ACE∽△APC，然后利用相似比即可得到结论；
（3）先利用AC²=PA•AE计算出AE=$\frac{13}{4}$，则PE=AP-AE=$\frac{3}{4}$，再证△APF为等边三角形，得到PF=PA=4，则有PC+PB=4，接着证明△ABP∽△CEP，得到PB•PC=PE•A=3，然后根据根与系数的关系，可把PB和PC看作方程x²-4x+3=0的两实数解，再解此方程即可得到PB和PC的长．

解答 （1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，
∵四边形ABPC为圆的内接四边形，
∴∠ACF=∠ABP，
在△ABP和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=CA}\\{∠ABP=∠ACF}\\{BP=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△ACF；
（2）∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠APC=∠ABB=60°，
∴∠ACE=∠APC，
∵∠CAE=∠PAC，
∴△ACE∽△APC，
∴AE：AC=AC：AP，
∴AC²=PA•AE；
（3）解：∵AC²=PA•AE，AB=AC，
∴AE=$\frac{A{B}^{\;}}{AP}$=$\frac{13}{4}$，
∴PE=AP-AE=4-$\frac{13}{4}$=$\frac{3}{4}$，
∵△ABP≌△ACF，
∴∠APB=∠F=60°，
而∠APC=60°，
∴△APF为等边三角形，
∴PF=PA=4，
∴PC+CF=PC+PB=4，
∵∠BAP=∠PCE，∠APB=∠APC，
∴△ABP∽△CEP，
∴PB：PE=AP：PC，
∴PB•PC=PE•AP=$\frac{3}{4}$×4=3，
∵PB+PC=4，
∴PB和PC可看作方程x²-4x+3=0的两实数解，解此方程得x₁=1，x₂=3，
∵PB＜PC，
∴PB=1，PC=3．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、圆内接四边形的性质和等边三角形的判定与性质；会利用相似三角形证明等积式；会运用根与系数的关系构造一元二次方程．