Question

5．如图，△ABC中，AB=AC，AD，AE分别是∠BAC和∠BAC的外角的平分线，BE⊥AE，四边形AEBD是矩形吗？证明你的结论．

Answer 1

分析 求出∠AEB=90°，∠DAE=90°，根据等腰三角形性质求出∠BDA=90°，证出四边形AEBD是矩形即可．

解答 解：四边形AEBD是矩形；理由如下：
∵AD、AE分别是∠BAC和∠BAC和外角的平分线，
∴∠DAB=$\frac{1}{2}$∠CAB，∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAF，
∴∠DAE=∠DAB+∠BAE=$\frac{1}{2}$（∠CAB+∠ABF）=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB=90°，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴四边形AEBD是矩形．

点评 本题考查了矩形的判定、等腰三角形性质、垂直定义、角平分线定义；熟练掌握矩形的判定方法，由等腰三角形的三线合一性质得出AD⊥BC是解决问题的关键．