Question

20．从⊙O外一点P引割线PBC，过P作直线PM，且∠OBC=∠CPM．
（1）如图1，当PM与⊙O切于A点，且PA=2OB，求tan∠P的值；
（2）如图2，当PM交⊙O于E，D，且PE=2，ED=6，tan∠P=$\frac{2}{5}$，求⊙O的半径长．

Answer 1

分析 （1）连接OA，OC，交PC于D，根据已知和等腰三角形的性质得出∠OCD=∠CPM，证得OC∥PM，根据切线的性质得出AO⊥OC，根据PA=2OB和平行线分线段成比例定理得出$\frac{OD}{AD}$=$\frac{OC}{PA}$=$\frac{OB}{PA}$=$\frac{1}{2}$，即可求得tan∠P的值；
（2）连接OC、OD，作OF⊥PM，则EF=FD=$\frac{1}{2}$ED=3，根据已知和等腰三角形的性质得出∠OCD=∠CPM，证得OC∥PM，根据切线的性质得出AO⊥OC，根据tan∠P=$\frac{2}{5}$，得出$\frac{GF}{PF}$=$\frac{2}{5}$，$\frac{OG}{OC}$=$\frac{2}{5}$，根据垂径定理求得PF，即可求得GF=2，设OF=x，则OG=x-2，得出$\frac{x-2}{\sqrt{{x}^{2}+9}}$=$\frac{2}{5}$，解方程求得x的值，然后根据勾股定理即可求得半径．

解答 解：（1）连接OA，OC，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCD，
∵∠OBC=∠CPM，
∴∠OCD=∠CPM，
∴OC∥PM，
∵PM与⊙O切于A点，
∴OA⊥PA，
∴AO⊥OC，
∵OC∥PA，
∴$\frac{OD}{AD}$=$\frac{OC}{PA}$，
∵PA=2OB，OB=OC，
∴$\frac{OD}{AD}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OD}{OA}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{OD}{OC}$=$\frac{1}{3}$，
∴tan∠OCD=$\frac{OD}{OC}$=$\frac{1}{3}$，
∵∠OCB=∠CPM，
∴tan∠P=$\frac{1}{3}$．
（2）连接OC、OD，作OF⊥PM，则EF=FD=$\frac{1}{2}$ED=3，
∴PF=PE+EF=2+3=5，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠OBC=∠CPM，
∴∠OCB=∠CPM，
∴OC∥PM，
∴OF⊥OC，
∵tan∠P=$\frac{2}{5}$，
∴$\frac{GF}{PF}$=$\frac{2}{5}$，
∴GF=2，
设OF=x，则OG=x-2，
在RT△OFD中，OD=$\sqrt{O{F}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+{3}^{2}}$，
∴OC=$\sqrt{{x}^{2}+9}$，
∵tan∠P=$\frac{2}{5}$，∠OCB=∠CPM，
∴tan∠OCB=$\frac{OG}{OC}$=$\frac{2}{5}$，
∴$\frac{x-2}{\sqrt{{x}^{2}+9}}$=$\frac{2}{5}$，
∴5（x-2）=2$\sqrt{{x}^{2}+9}$，
两边平方，整理得，21x²-100x+64=0，
解得x₁=4，x₂=$\frac{16}{21}$＜2（舍去），
∴OF=4，
在RT△OFD中，OD=$\sqrt{O{F}^{2}+F{D}^{2}}$=5，
∴⊙O的半径长为5．

点评 本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，勾股定理和直角三角形函数等，作出辅助线根据直角三角形是解题的关键．