Question

15．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点C（-3，0），D（0，4），过B点作x轴的垂线交过A点的反比例函数图象于E点，交x轴于G点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点E的坐标；
（3）连接AE，BD，求四边形AEBD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得AD=CD，∠ADC=90°，再利用等角的余角相等得到∠DAF=∠CDO，于是可根据“AAS”证明△CDO≌△DAF；由于△CDO≌△DAF，根据全等的性质得AF=OD=4，DF=OC=3，则A点坐标为（-4，7），再利用待定系数法即可求得；
（2）结合（1）中的方法一样可证明△CDO≌△BGC，得到CG=OD=4，则得到E点的横坐标为-7，然后利用反比例函数解析式可确定E点坐标；
（3）作AM⊥x轴于M，交BD于F，根据待定系数法求得直线BD的解析式，进而求得F点的坐标，得出AF的长，然后根据S_{四边形AEBD}=S_梯形AEBF+S_△ADF即可求得．

解答 解：（1）如图1，过点A作AF⊥y轴于点F，
∵C（-3，0），D（0，4），
∴OC=3，OD=4，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∴∠ADF+∠CDO=90°，
∵AF⊥y轴，
∴∠AFD=90°，
∴∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠DAF=∠CDO，
在△CDO和△DAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DOC=∠AFD}\\{∠CDO=∠DAF}\\{CD=DA}\end{array}\right.$，
∴△CDO≌△DAF（AAS），
∴AF=OD=4，DF=OC=3，
∴OF=OD+DF=3+4=7，
∴A点坐标为（-4，7），
设反比例函数解析式为y=$\frac{k}{x}$，
把A（-4，7）代入y=$\frac{k}{x}$得k=-4×7=-28，
∴反比例函数解析式为y=-$\frac{28}{x}$；

（2）如图1，
同理可证明△CDO≌△BGC，
则CG=OD=4，
故OG=OC+CG=7，
则E点的横坐标为-7，
把x=-7代入y=-$\frac{28}{x}$得y=4，
故E点坐标为（-7，4）；

（3）如图2，作AM⊥x轴于M，交BD于F，
∵△CDO≌△BGC，
∴BG=OC=3，
∴B（-7，3），
设直线BD的解析式为y=ax+b，
把B（-7，3），D（0，4）代入得，$\left\{\begin{array}{l}{-7a+b=3}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{7}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线BD的解析式为y=$\frac{1}{7}$x+4，
∵A（-4，7），
∴F的横坐标为-4，
代入为y=$\frac{1}{7}$x+4得y=$\frac{24}{7}$，
∴AF=7-$\frac{24}{7}$=$\frac{25}{7}$，
∴S_{四边形AEBD}=S_梯形AEBF+S_△ADF=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{25}{7}$）×（7-4）+$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{7}$×4=14．

点评 本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质和三角形全等的判定与性质；会求四边形的面积；会利用待定系数法求函数解析式．