Question

已知四边形有一个内角为120°，一条对角线把四边形分成一个等边三角形和一个直角三角形，且该对角线长为2，求该四边形的面积．

Answer 1

考点：二次根式的应用

专题：

分析：首先由等边三角形的性质得出∠CAB=60°，AC=BC=AC=2，根据三角形的面积公式求出S_△ABC=

1

2

AB•（AC•sin∠CAB）=

1

2

×2×（2×

3

2

）=

3

．然后在Rt△ADC中，求出∠CAD=∠DAB-∠CAB=60°．再分两种情况进行讨论：①∠D=90°；②如果∠ACD=90°．分别求出S_△ADC，再根据S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ADC即可求解．

解答：解：如图，四边形ABCD中，∠DAB=120°，AC把四边形分成等边三角形ABC和一个直角三角形ADC，AC=2．
∵三角形ABC中，AC=2，
∴∠CAB=60°，AC=BC=AC=2，
∴S_△ABC=

1

2

AB•（AC•sin∠CAB）=

1

2

×2×（2×

3

2

）=

3

．
在Rt△ADC中，∠CAD=∠DAB-∠CAB=120°-60°=60°．
分两种情况：
①如果∠D=90°，如图1，
∵∠ACD=30°，AC=2，
∴AD=

1

2

AC=1，CD=

3

AD=

3

，
∴S_△ADC=

1

2

AD•CD=

1

2

×1×

3

=

3

2

，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ADC=

3

+

3

2

=

3 3

2

；
②如果∠ACD=90°，如图2，
∵∠D=30°，AC=2，
∴CD=

3

AC=2

3

，
∴S_△ADC=

1

2

AC•CD=

1

2

×2×2

3

=2

3

，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ADC=

3

+2

3

=3

3

．
综上所述，该四边形的面积为

3 3

2

或3

3

．

点评：本题考查了二次根式的应用，等边三角形、直角三角形的性质，进行分类讨论是解题的关键．