Question

6．如图，在?ABCD中，AB=8，BC=6，∠B=60°，点E是边AB上的一点，点F是边CD上一点，将?ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGH，点A的对应点为点H，点D的对应点为点G．
（1）则点E到CD的距离为3$\sqrt{3}$；
（2）当点H与点C重合时，
①证明：CE=CF；
②求：BE和CF的长．

Answer 1

分析 （1）作AM⊥BC于M，由三角函数求出AM，再由?ABCD的面积=AB•h=BC•AM，求出h即可；
（2）①由平行四边形的性质得出∠AEF=∠CFE，由折叠的性质得出CE=AE，∠AEF=∠CEF，证出∠CFE=∠CEF，即可得出结论；
②作EN⊥BC于N，设BN=x，则CN=6-x，CE=AE=8-2x，求出BE=2BN=2x，EN=$\sqrt{3}$x，在Rt△ECN中，由勾股定理得出方程，解方程即可得出结果．

解答 （1）解：作AM⊥BC于M，如图1所示：
则∠AMB=90°，
∵∠B=60°，
∴AM=AB•sin60°=8×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$，
设点E到CD的距离为h，
∵?ABCD的面积=AB•h=BC•AM，
即8h=6×4$\sqrt{3}$，
解得：h=3$\sqrt{3}$，
即点E到CD的距离为3$\sqrt{3}$．
故答案为：3$\sqrt{3}$；
（2）①证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠AEF=∠CFE，
由折叠的性质得：CE=AE，∠AEF=∠CEF，
∴∠CFE=∠CEF，
∴CE=CF；
②解：作EN⊥BC于N，如图2所示：
设BN=x，则CN=6-x，CE=AE=8-2x，
∵∠B=30°，
∴∠BEN=30°，
∴BE=2BN=2x，EN=$\sqrt{3}$x，
在Rt△ECN中，由勾股定理得：
（$\sqrt{3}$x）²+（6-x）²=（8-2x）²，
解得：x=1.4，
∴BE=2.8，CE=8-2.8=5.2，
∴CF=CE=5.2．

点评 本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角函数、勾股定理、等腰三角形的判定等知识；本题有一定难度，熟练掌握平行四边形和折叠的性质，由勾股定理得出方程是解决问题②的关键．