Question

1．已知：如图，在?ABCD中，AE与对角线BD相交于点F，EF=AF．
（1）求证：CE∥BD；
（2）当点G为CD中点时，求证：BD=3CE．

Answer 1

分析 （1）连接AC交BD于O，由平行四边形的性质得出AO=CO，证出OF是△ACE的中位线，由三角形中位线定理得出OF∥CE即可．
（2）由平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，OB=OD，证出DG=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AB，由平行线的性质得出△FAB∽△FDG，得出比例式$\frac{DF}{BF}$=$\frac{DG}{AB}$=$\frac{1}{2}$，∴$\frac{OD-OF}{OB+OF}$=$\frac{1}{2}$，得出BD=6OF，由（1）得CE=2OF，即可得出结论．

解答 证明：（1）连接AC交BD于O，如图所示：
∵ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，
∵AF=EF，
∴OF是△ACE的中位线，
∴OF∥CE，
即CE∥BD；
 （2）∵ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，OB=OD，
∵G为CD的中点，
∴DG=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB∥CD，
∴△FAB∽△FDG，
∴$\frac{DF}{BF}$=$\frac{DG}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OD-OF}{OB+OF}$=$\frac{1}{2}$，
∴2（OD-OF）=OD+OF，
∴OD=3OF，
∴BD=6OF，
由（1）得CE=2OF，
∴BD=3CE．

点评 本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似得出比例式是解决问题（2）的关键．