Question

11．将函数y=x²-2x-3图象沿y轴翻折后，与原图象合起来，构成一个新函数的图象，若直线y=x+m与新图象有四个公共点，则m的取值范围为m＞-$\frac{13}{4}$且m≠-3．

Answer 1

分析 先根据函数解析式画出图形，然后结合图形可求得取值范围．

解答 解：翻折后所得新图象如图所示．
∵函数y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴顶点P的坐标为（1，-4），
∴Q（-1，-4），
当直线y=x+m经过Q（-1，-4）时，-4=-1+m，
解得m=-3，∴此时直线与新图象有3个交点，且经过点（0，-3），
∵翻折后的抛物线y=（x+1）²-4，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{y=（x+1）^{2}-4}\end{array}\right.$消去y得x²+x-3-m=0，
当△=0时，1-4（-3-m））=0，
m=-$\frac{13}{4}$，此时直线y=x+m与新图象有3个交点
∴若直线y=x+m与新图象有四个公共点，则m的取值范围为m＞-$\frac{13}{4}$且m≠-3，
故答案为m＞-$\frac{13}{4}$且m≠-3．

点评 本题考查了二次函数和y轴的交点问题，平移的性质，二次函数的图象与几何变换的应用，主要考查学生的理解能力，题目比较好，有一定的难度．