如图.把正方形ACFG与Rt△ACB按如图(1)所示重叠在一起.其中AC=4+2$\sqrt{3}$.∠BAC=60°.若把Rt△ACB绕直角顶点C按顺时针方向旋转.使斜边AB恰好经过正方形ACFG的顶点F.得△A′B′C.AB分别与A′C.A′B′相交于D.E.如图(2)所示．(1)△ACB至少旋转多少度才能得到△A′B′C?说明理由,(2)求△ACB与△A′B′C的重叠部� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．如图，把正方形ACFG与Rt△ACB按如图（1）所示重叠在一起，其中AC=4+2$\sqrt{3}$，∠BAC=60°，若把Rt△ACB绕直角顶点C按顺时针方向旋转，使斜边AB恰好经过正方形ACFG的顶点F，得△A′B′C，AB分别与A′C、A′B′相交于D、E，如图（2）所示．

（1）△ACB至少旋转多少度才能得到△A′B′C？说明理由；
（2）求△ACB与△A′B′C的重叠部分（即四边形CDEF）的面积．

分析（1）由旋转的性质得出A′C=AC，∠A′=∠BAC=60°，由正方形的性质得出∠ACF=90°，AC=CF，得出A′C=CF，证明△A′CF是等边三角形，得出∠A′CF=60°，求出∠ACA′即可；
（2）证出∠A′DE=∠ADC=90°，得出AD、CD，求出A′D、DE，四边形CDEF的面积=等边三角形A′CF的面积-直角三角形A′DE的面积，即可得出结果．

解答解：（1）旋转30°，理由如下：
由旋转的性质得：A′C=AC，∠A′=∠BAC=60°，
∵四边形ACFG是正方形，
∴∠ACF=90°，AC=CF，
∴A′C=CF，
∵∠BAC=60°，
∴△A′CF是等边三角形，
∴∠A′CF=60°，
∴∠ACA′=90°-60°=30°，
即△ACB至少旋转30°才能得到△A′B′C；
（2）由（1）得：∠ACA′=30°，
∴∠ACA′+∠BAC=90°，
∴∠A′DE=∠ADC=90°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC=2+$\sqrt{3}$，
∴CD=$\sqrt{3}$AD=2$\sqrt{3}$+3，
∴A′D=A′C-CD=1，
∵∠A′ED=90°-60°=30°，
∴DE=$\sqrt{3}$A′D=$\sqrt{3}$，
∴△ACB与△A′B′C的重叠部分（即四边形CDEF）的面积
=等边三角形A′CF的面积-直角三角形A′DE的面积
=$\frac{1}{2}$×（4+$\sqrt{3}$）（2$\sqrt{3}$+3）-$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$
=12+$\frac{13\sqrt{3}}{2}$．