Question

9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BC=CD，CE⊥AD的延长线，垂足为E
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AB=10，BC=6，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）利用圆心角定理的推论得出∠BAC=∠EAC，进而得出∠OCA=∠CAE，利用平行线的性质得出∠E=∠OCE=90°，进而得出CE是⊙O的切线；
（2）利用相似三角形的判定与性质得出$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AC}{AE}$，进而得出答案．

解答 （1）证明：连接AC，OC，
∵BC=CD，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{CD}$，
∴∠BAC=∠EAC，
∵AO=CO，
∴∠BAC=∠OCA，
∴∠OCA=∠CAE，
∴CO∥AE，
∴∠E=∠OCE=90°，
∴CE是⊙O的切线；

（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠E=90°，
又∵∠BAC=∠EAC，
∴△BAC∽△CAE，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AC}{AE}$，
∵AB=10，BC=6，
∴AC=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∴$\frac{10}{8}$=$\frac{8}{AE}$，
解得：AE=6.4．

点评 此题主要考查了切线的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出△BAC∽△CAE是解题关键．