Question

5．九年级数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤70且x为整数）天的售价目与销量的相关信息如下表：

时间x（天）	1≤x≤40	40≤x≤70
售价（元/件）	x+45	85
每天销售（件）	150-2x

已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于3250元？请直接写出结果．

Answer 1

分析 （1）根据单价乘以数量，可得利润，可得答案；
（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案；
（3）根据二次函数值大于或等于3250，一次函数值大于或等于3250，可得不等式，根据解不等式组，可得答案．

解答 解：（1）当1≤x＜40时，y=（150-2x）（x+45-30）=-2x²+120x+2250，
当40≤x≤70时，y=（150-2x）（85-30）=-110x+8250，
综上所述：y=$\left\{\begin{array}{l}{-2{x}^{2}+120x+2250（1≤x＜40）}\\{-110x+8250（40≤x≤70）}\end{array}\right.$；
（2）当1≤x＜40时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x=30，
当x=30时，y_最大=-2×30²+120×30+2250=4050，
当40≤x≤70时，y随x的增大而减小，
当x=40时，y_最大=3850，
综上所述，该商品第30天时，当天销售利润最大，最大利润是4050元；
（3）当1≤x＜40时，y=-2x²+120x+2250≥3250，解得10≤x≤50，
因此利润不低于3250元的天数是10≤x＜40，共30天；
当40≤x≤70时，y=-110x+8250≥3250，解得x≤45$\frac{5}{11}$，
因此利润不低于3250元的天数是40≤x≤45，共6天，
所以该商品在销售过程中，共36天每天销售利润不低于3250元．

点评 本题考查了二次函数的应用，利用单价乘以数量求函数解析式，利用了函数的性质求最值．