题目内容
13．若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两实根，且${x_1}^2+3{x_2}^2=3|k|$（k为整数），则称方程x2+bx+c=0为“B系二次方程”，如：x2+2x-3=0，x2+2x-15=0，${x^2}+3x-\frac{27}{4}=0$，${x^2}+x-\frac{15}{4}=0$，x2-2x-3=0，x2-2x-15=0等，都是“B系二次方程”．请问：对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2+bx+c=0是“B系二次方程”，并说明理由．分析 由条件x2-2x-15=0，x2+2x-15=0是“B系二次方程”进行建模，设c=mb2+n，就可以表示出c，然后根据公式法求出其两根，再代入x12+3x22看结果是否为3的整数倍即可得出结论．
解答 解：存在．
理由：x2-2x-15=0，x2+2x-15=0是“B系二次方程”，
∴假设c=mb2+n，
当b=-2，c=-15时，-15=4m+n，
∵x2=0是“B系二次方程”，
∴n=0时，m=-$\frac{15}{4}$，
∴c=-$\frac{15}{4}$b2，
∵x2+2x-15=0，是“B系二次方程”，
当b=2时，c=-$\frac{15}{4}$×22，
∴可设c=-$\frac{15}{4}$b2，
对于任意一个整数b，当c=-$\frac{15}{4}$b2时，△=b2-4ac=16b2．
∴x=$\frac{-b±4b}{2}$，
即x1=$\frac{3}{2}$b，x2=-$\frac{5}{2}$b，
∴x12+3x22=$\frac{9}{4}$b2+3×$\frac{25}{4}$b2=21b2，
∵b是整数，
∴对于任何一个整数b，当c=-$\frac{15}{4}$b2时，关于x的方程x2+bx+c=0是“B系二次方程”．
点评 本题主要考查了根与系数的关系，解决问题需要掌握一元二次方程的解法的运用、根的判别式的运用以及数学建模思想的运用，解答本题时根据条件特征建立模型是关键．
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