Question

3．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，连接DE、DB，若∠CBD=∠A．
（1）直接写出图中所有相似三角形；
（2）若AD：AO=8：5，BC=12，求⊙O的直径．

Answer 1

分析 （1）利用“两角法”找得图中的相似三角形即可；
（2）求出AD：AE：DE=8：10：6，根据△ADE∽△ACB，推出AD：AE：DE=AC：AB：CB=8：10：6．由此求得AC、AB的长度，然后由锐角三角函数的定义来求AE的长度．

解答 解：（1）△DBE∽△ABD，ADE∽△ACB，△BDC∽△ABC，△BDC∽△AED．
理由如下：连结OD，如图，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°，
又∵∠CBD=∠A，
∴∠ADO+∠CDB=90°，
∴∠ODB=90°，
∴OD⊥DB，
∴直线BD与⊙O相切，
①由切线的性质得到：∠BDE=∠A．
又∠DBE=∠ABD，
∴△DBE∽△ABD．
②∵AE是直径，
∴∠ADE=90°．
又∠ACB=90°，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB．
③∵∠DCB=∠BCA，∠CBD=∠A，
∴△BDC∽△ABC．
④再由相似的传递性得出：△BDC∽△AED

（2）∵AD：AO=8：5，
∴AD：AE=8：10，
∴AD：AE：DE=8：10：6．
∵△ADE∽△ACB，
∴AD：AE：DE=AC：AB：CB=8：10：6，
∵BC=12，
∴AC=16，AB=20，
∵∠CBD=∠A
∴tan∠CBD=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{3}{4}$，则CD=9．
∴AD=AC-AD=16-9=7，
∴AE=$\frac{AD}{sinA}$=$\frac{35}{4}$．
即⊙O的直径为$\frac{35}{4}$．

点评 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了相似三角形的判定与性质和勾股定理．