Question

10．如图，A、B、C、D、E是⊙O上的五个等分点，连接AC、BE相交于点F．
（1）求证：AB²=AF•AC；
（2）设AF=m，CF=n，求m：n的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意得到五边形ABCDE为⊙O的内接正五边形，于是得到∠ABF=∠BAF=∠ACB=36°，∠CBF=∠CFB=72°，推出△ABF∽△ACB，根据相似三角形的性质即可得到结论．
（2）由（1）知AB=CF=n，根据AB²=AF•AC=AF•（AF+CF），代入已知条件解方程组即可得到结论．

解答 （1）证明：A、B、C、D、E是⊙O上的五个等分点，
∴五边形ABCDE为⊙O的内接正五边形，
其每个内角为$\frac{{（{5-2}）×{{180}°}}}{5}={108°}$，
∴∠ABF=∠BAF=∠ACB=36°，∠CBF=∠CFB=72°，
∴△ABF∽△ACB，AB=BC=CF，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AF}{AB}$，
∴AB²=AF•AC；

（2）解：由（1）有AB=CF=n，
由AB²=AF•AC=AF•（AF+CF），
∴n²=m（m+n），
∴m²+mn-n²=0，
即（$\frac{m}{n}$）²+（$\frac{m}{n}$）-1=0，而$\frac{m}{n}$＞0，
解得$\frac{m}{n}=\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正五边形的内角和，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．