Question

18．如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC的中点，BD平分∠ABC，求$\frac{OC}{OD}$的值．

Answer 1

分析 延长DE交AB于F，由平行四边形的性质和已知条件得出CB∥DE，CB=DE，∠CBD=∠DBF=∠BDE=45°，得出∠DFB=90°，由直角三角形斜边上的中线性质得出BE=EC=EA，由平行线的性质得出F为AB的中点，由三角形中位线定理得出EF=$\frac{1}{2}$CB，设EF=m，则CB=2m，DE=2m，DF=3m，FB=3m，由勾股定理求出DB，得出DO，CO，即可得出结果．

解答 解：延长DE交AB于F，如图所示：
∵∠ABC=90°，四边形ABCD是平行四边形，BD平分∠ABC，
∴CB∥DE，CB=DE，∠CBD=∠DBF=∠BDE=45°，
∴∠DFB=90°，
∵E为AC的中点，
∴BE=EC=EA，
∵EF∥CB，
∴F为AB的中点，
∴EF=$\frac{1}{2}$CB，
设EF=m，则CB=2m，DE=2m，DF=3m，FB=3m，
∴DB=$\sqrt{D{F}^{2}+B{F}^{2}}$=3$\sqrt{2}$m，
∴DO=$\frac{1}{2}$DB=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$m，
∴CO=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{m}^{2}+9{m}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$m，
∴$\frac{OC}{OD}$=$\frac{\frac{\sqrt{10}}{2}m}{\frac{3\sqrt{2}}{2}m}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，由勾股定理求出DB是解决问题的关键．