Question

1．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点0，∠ACD=30°，BD=2．
（1）求证：△ABD是正三角形；
（2）求AC的长（结果可保留根号）．

Answer 1

分析 （1）菱形的边AB=AD，即已知两边相等，再寻找一个角为60°，即可证明△ABD是正三角形；
（2）先由三角函数求OC的长，即可得出AC的长．

解答 （1）证明：∵AC是菱形ABCD的对角线，
∴AC平分∠BCD．
∵∠ACD=30°，
∴∠BCD=60°．
∵∠BAD与∠BCD是菱形的一组对角，
∴∠BAD=∠BCD=60°．
∵AB、AD是菱形的两条边，
∴AB=AD．
∴△ABD是正三角形．
（2）解：∵O为菱形对角线的交点，
∴AC=2OC，OD=$\frac{1}{2}$BD=1，∠COD=90°．
在Rt△COD中，$\frac{OD}{OC}$=tan∠OCD=tan30°，
∴OC=$\frac{OD}{tan30°}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\sqrt{3}$．
∴AC=2OC=2$\sqrt{3}$．
答：AC的长为2$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定、三角函数；熟练掌握菱形的性质是解决问题的关键．