Question

19．如图，AB为直径，AB=4，C、D为圆上两个动点，N为CD中点，CM⊥AB于M，当C、D在圆上运动时保持∠CMN=30°，则CD的长（　　）

• A． 随C、D的运动位置而变化，且最大值为4
• B． 随C、D的运动位置而变化，且最小值为2
• C． 随C、D的运动位置长度保持不变，等于2
• D． 随C、D的运动位置而变化，没有最值

Answer 1

分析 连接OC、ON、OD，由垂径定理可知ON⊥CD，∠CON=∠DON，然后由∠ONC+∠CMO=180°，可证明O、N、C、M四点共圆，从而可得到∠NOC=∠NMC=30°，于是可证明△OCD为等边三角形，从而得到CD=2．

解答 解；连接：OC、ON、OD．

∵N是CD的中点，
∴ON⊥CD，∠CON=∠DON．
又∵CM⊥AB，
∴∠ONC+∠CMO=180°．
∴O、N、C、M四点共圆．
∴∠NOC=∠NMC=30°．
∴∠COD=60°．
又∵OC=OD，
∴△OCD为等边三角形．
∴CD=$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$．
故选：C．

点评 本题主要考查的是轨迹问题，发现O、N、C、M四点共圆，从而证得△OCD为等边三角形是解题的关键．