Question

14．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角形APQ．当点P运动到原点O处时，记点Q的位置为B，则当点P从（-2，0）运动到（2，0）时，点Q运动的路径长为4．

Answer 1

分析 如图1所示：先证明△APO≌△AQB（SAS），从而得到∠ABQ=∠AOP=90°，于是可知点Q的轨迹为一条经过点B且于AB垂直的线段，如图2所示先求得点Q与点Q′的坐标，最后利用两点之间的线段公式求得QQ′的长即可．

解答 解：如图1所示：

当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，
∵∠PAQ=∠OAB=60°，
∴∠PAO=∠QAB．
在△APO和△AQB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=AQ}\\{∠PAO=∠QAB}\\{AO=AB}\end{array}\right.$，
∴△APO≌△AQB（SAS），
∴∠ABQ=∠AOP=90°．
∴当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，∠ABQ为定值90°．
∴点Q的轨迹为一条经过点B且于AB垂直的线段．
如图2所示：过点O作QM⊥PA，垂足为M，过点Q′作Q′N⊥AP′，垂足为N．

当点P的坐标为（-2，0）时，PA=$\sqrt{O{P}^{2}+O{A}^{2}}=2\sqrt{2}$．
∵△APQ为等边三角形，
∴MQ=QP•sin60°=2$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{6}$．
∵△APO为等腰直角三角形，
∴MQ=$\frac{1}{2}PA$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$．
∴OQ=$\sqrt{6}-\sqrt{2}$．
∴点Q的坐标为（$\sqrt{3}-1$，1$-\sqrt{3}$）．
∵OQ′=ON+NQ′，
∴OQ′=$\sqrt{2}+\sqrt{6}$．
∴点Q′的坐标为（1$+\sqrt{3}$，1+$\sqrt{3}$）．
∴QQ′=$\sqrt{{2}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=4．
故答案为：4．

点评 本题主要考查的是点的轨迹问题，解答本题主要应用了等边三角形的性质、两点间的距离公式、全等三角形的性质和判定，证得∠ABQ为定值90°，从而得到点Q的运动路径是一条经过点B且于AB垂直的线段是解题的关键．