题目内容
11．如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽（a）”，中间的这条直线在△ABC内部的线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=$\frac{1}{2}$ah，即三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．解答问题：
如图2，顶点为C（1，4）的抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A（3，0）、交y轴于点B．
（1）求抛物线和直线AB的解析式．
（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接PA、PB．
①当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S△CAB．
②是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
分析 （1）已知抛物线的顶点和抛物线上的几点，即可利用待定系数法求解析式；
（2）①C点坐标为（1，4），根据三角形的面积公式即可求解；
②根据S△PAB=S△CAB即可得到一个关于点P的横坐标的方程，即可求出方程根的情况，进而得到不存在符合要求的P点．
解答 解：（1）设抛物线的解析式为：y1=a（x-1）2+4，
把A（3，0）代入解析式求得a=-1，
故y1=-（x-1）2+4=-x2+2x+3；
设直线AB的解析式为：y2=kx+b，
求得B点的坐标为（0，3），
把A（3，0），B（0，3）代入y2=kx+b中，
解得：k=-1，b=3，
所以y2=-x+3；
（2）①∵C点坐标为（1，4），
∴当x=1时，y1=4，y2=2
∴CD=4-2=2，
S△CAB=$\frac{1}{2}$×3×2=3；
②∵C点坐标为（1，4），
∴当x=1时，y1=4，y2=2，
∴CD=4-2=2，
S△CAB=$\frac{1}{2}$×3×2=3，
假设存在符合条件的点P，设点P的横坐标是x，△PAB的铅垂高为h，
则h=y1-y2=（-x2+2x+3）-（-x+3）=-x2+3x，
由S△PAB=S△CAB，
得：$\frac{1}{2}$×3×（-x2+3x）=3
化简得：x2-3x+2=0，
∴x=1（舍去）或x=2，
∴点P（2，3）．
点评 此题主要考查了二次函数综合题，涉及二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
练习册系列答案
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已知关于x的一元二次方程mx2-（m+1）x+1=0
19．
如图，AB为直径，AB=4，C、D为圆上两个动点，N为CD中点，CM⊥AB于M，当C、D在圆上运动时保持∠CMN=30°，则CD的长（ ）
如图，AB为直径，AB=4，C、D为圆上两个动点，N为CD中点，CM⊥AB于M，当C、D在圆上运动时保持∠CMN=30°，则CD的长（ ）| A． | 随C、D的运动位置而变化，且最大值为4 | |
| B． | 随C、D的运动位置而变化，且最小值为2 | |
| C． | 随C、D的运动位置长度保持不变，等于2 | |
| D． | 随C、D的运动位置而变化，没有最值 |
如图，已知抛物线y=x2+bx-3a过点A（1，0），B（0，-3），与x轴交于另一点C．
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