Question

4．如图，已知抛物线经过A（1，0），B（-3，0）两点，与y轴交于点C，且OB=OC，抛物线的顶点为P．

（1）求抛物线的解析式；
（2）联结AC、PC、BC、PB，试判断△AOC与△PCB是否相似？说明理由；
（3）过点P作PH⊥x轴于点H，在PH的右侧的抛物线上有一动点M（点M与顶点P不重合），过点M作MN⊥BP于点N，当△MPN与△BPH相似时，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线经过A（1，0），B（-3，0）两点，与y轴交于点C，且OB=OC，可以求得点C的坐标，根据两点式可以求得抛物线的解析式；
（2）根据第一问中求出的A、B、C各点的坐标，可以求出BP、CP、BC的长度，根据勾股定理的逆定理可以得到△BCP野史直角三角形，对应边的比与△OAC的对应边的比相等，从而可以求得两个三角形相似；
（3）根据题意画出相应的图形，再根据题意，可以分别表示出各边之间的关系，再根据相似三角形对应边的比相等，从而可以得到两个方程，联立方程组，从而可以求得点M的值．

解答 解：（1）∵OB=OC=3，B（-3，0），
∴C（0，3）．
设抛物线的解析式y=a（x+3）（x-1），
∵抛物线与y轴交于点C（0，3），
∴-3a=3．
解得a=-1．
∴抛物线的解析式为y=-（x+3）（x-1）=-x²-2x+3．
（2）△AOC与△PCB相似．
理由：如下图一所示：

∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴点P的坐标为（-1，4），
∵OA=1，OC=3，
∴BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，PC=$\sqrt{1+（3-4）^{2}}$=$\sqrt{2}$，PB=$\sqrt{（-1+3）^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∴BC²+PC²=PB²．
∴∠PCB=∠AOC=90°．
∴BC：OC=PC：OA．
∴△PCB∽△AOC．
（3）如下图二所示：

当△MPN与△BPH相似时．
则PH：MN=BH：NP，
∵PH：BH=2：1，
∴MN：NP=2：1．
∴MN²：MP²=4：5．
设M（x，y）．
∵B（-3，0），P（-1，4），设过点B、P的直线为：y=kx+b．
∴y=2x+6．
∴点M到直线BP的距离MN为：$\frac{|2x-y+6|}{\sqrt{{2}^{2}+（-1）^{2}}}$．
则MN²=$\frac{（2x-y+6）^{2}}{5}$．
MP²=（x+1）²+（y-4）²
又∵y=-x²-2x+3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{（2x-y+6）^{2}}{5}：[（x+1）^{2}+（y-4）^{2}]}\\{y=-{x}^{2}-2x+3}\end{array}\right.$=4：5
解得，x=$\frac{1}{3}$，y=$\frac{20}{9}$．
故点M的坐标为（$\frac{1}{3}$，$\frac{20}{9}$）．

点评 本题考查二次函数的解析式的求法、三角形相似、点到直线的距离，解答本题的关键是可以根据题意画出相应的图形，再根据题意灵活变化，建立等量关系，找出所求问题的条件．