Question

11．点P为正三角形ABC内一点，PA=a，PB=b，PC=c，试用a、b、c表示S_△ABC．

Answer 1

分析 将△PAB绕点B顺时针旋转60°到△DCB，所以△PAB与△PBC的面积和就是四边形PBDC，也就是正△PBD与△PDC的面积和，利用海伦公式可得△PDC的面积，易得四边形PBDC的面积，同理可得四边形PCEA、四边形PAFB的面积，将这三个四边形的面积相加就是△ABC面积的2倍，易得结论．

解答 解：将△PAB绕点B顺时针旋转60°到△DCB
所以△PAB与△PBC的面积和就是四边形PBDC，也就是正△PBD与△PDC的面积和，
正△PBD是以b为边，面积为$\frac{{\sqrt{3}b}^{2}}{4}$，
△PDC的面积根据海伦公式得，S_△PDC=$\sqrt{[s（s-a）（s-b）（s-c）]}$，
所以S_{四边形PBDC}=$\frac{\sqrt{3}}{4}$b²+$\sqrt{[s（s-a）（s-b）（s-c）]}$，
同理可得S_{四边形PCEA}=$\frac{\sqrt{3}}{4}$c²+$\sqrt{[s（s-a）（s-b）（s-c）]}$，
S_{四边形PAFB}=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²+$\sqrt{[s（s-a）（s-a）（s-a）]}$，
将这三个四边形的面积相加就是△ABC面积的2倍，
所以S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（a²+b²+c²）$+\frac{3}{2}$$\sqrt{[s（s-a）（s-b）（s-c）]}$
其中s=$\frac{1}{2}$（a+b+c）．

点评 本题主要考查了等边三角形的性质，利用海伦公式三角形的面积等于$\sqrt{s（s-a）（s-b）（s-c）}$其中s=$\frac{1}{2}$（a+b+c）是解答此题的关键．