如图.二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点为D.其图象与x轴的交点A.与y轴负半轴交于点C．(1)若△ABD为等腰直角三角形.求此时抛物线的解析式,(2)a为何值时△ABC为等腰三角形?的条件下.抛物线与直线y=$\frac{5}{4}$x-4交于M.N两点.动点P从M点出发.先到达抛物线的对称轴上的某点E.再到达x轴上的某点F.最后运动到点N.若使点P运动的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．如图，二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A（-1，0）、B（3，0），与y轴负半轴交于点C．
（1）若△ABD为等腰直角三角形，求此时抛物线的解析式；
（2）a为何值时△ABC为等腰三角形？
（3）在（1）的条件下，抛物线与直线y=$\frac{5}{4}$x-4交于M、N两点（点M在点N的左侧），动点P从M点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点N，若使点P运动的总路径最短，求点P运动的总路径的长．

分析（1）由△ABD是等腰直角三角形确定出D（1，-2），用待定系数法确定出函数关系式；
（2）由△ABC为等腰三角形，利用勾股定理求出a即可；
（3）由于抛物线与直线y=$\frac{5}{4}$x-4交于M、N两点，先求出M，N的坐标，利用对称性求出点G，H的坐标即可．

解答解：（1）如图1，

∵△ABD是等腰直角三角形，
∴过点D作直线l∥y轴，直线l与x轴交于点I．
∴AI=ID=IB=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴D（1，-2），
∴设y=a（x+1）（x-3）=ax²-2ax-3a，
∴a-2a-3a=-2，
∴a=$\frac{1}{2}$，
∴y=$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$，
（2）∵△ABC为等腰三角形，
∴①AB=BC=4，
∴OC=$\sqrt{C{B}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴-3a=-$\sqrt{7}$，
∴a=$\frac{\sqrt{7}}{3}$，
②AB=AC=4，
∴OC=$\sqrt{A{C}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{15}$，
∴C（0，-$\sqrt{15}$），
∴-3a=-$\sqrt{15}$，
∴a=$\frac{\sqrt{15}}{3}$．
（3）如图2，

∵抛物线与直线y=$\frac{5}{4}$x-4交于M、N两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}（x+1）（x-3）}\\{y=\frac{5}{4}x-4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2}\\{{y}_{1}=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{5}{2}}\\{{y}_{2}=-\frac{7}{8}}\end{array}\right.$，
∴M（2，-$\frac{3}{2}$），N（$\frac{5}{2}$，-$\frac{7}{8}$）．
作点M关于对称轴l的对称点G，
点N关于x轴的对称点H，
连接GH交l于E，x轴于F，
∴EM=EG，FN=FH
∴点P运动的总路径为GH，
∵G（0，-$\frac{3}{2}$），H（$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{8}$），
∴GH=$\frac{\sqrt{761}}{8}$．