Question

20．在△ABC中，∠ACB=90°，CQ是斜边AB上的中线，AC=6，AB=10，点P是BC边上的一个动点（与B、C不重合），经过点P、Q的直线与直线AC交于点N，当BP为何值时，△PNC与△ABC相似，并证明你的结论．

Answer 1

分析 过Q点作QM⊥AC交AC于M，则MQ为△ACB的中位线，进而可得QM的长，再由勾股定理可求出BC的长，设CP=x，则BP=8-x 因为△ABC与△PNC，所以CP：AC=CN：BC，可求出CN的值，又因为MQ∥CP，所以可得△NMQ∽△NCP，由相似三角形的性质即可求出PB的长．

解答 解：过Q点作QM⊥AC交AC于M，
∵∠ACB=90°，
∴QM∥BC，
∵CQ是斜边AB上的中线，
∴AQ=BQ，
∵MQ为△ACB的中位线，
∴MQ=$\frac{1}{2}$AC=3，
∵∠ACB=90°，AC=6，AB=10，
∴BC=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∴MQ=4，
设CP=x，则BP=8-x，
∵△PNC∽△ABC，
∴CP：AC=CN：BC，
∴CN=$\frac{4}{3}$x，
∵MQ∥CP，
∴△NMQ∽△NCP，
∴MN：CN=MQ：CP，
∴（$\frac{4}{3}$x-3）：$\frac{4}{3}$x=4：x，
解得：x=$\frac{7}{4}$，
∴BP=8-$\frac{7}{4}$=$\frac{25}{4}$，
即当BP=$\frac{25}{4}$时，△PNC与△ABC相似．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理的运用、三角形中位线定理的运用，题目的综合性较强，难度较大，解题的关键是添加辅助线构造相似三角形．