Question

15．如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△AB′C′，B′C′交AB于点D，则∠B′AC=75度，若AC=1，图中阴影部分的面积是=$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 过点D作DH⊥AB′于H，如图，根据等腰直角三角形的性质得∠CAB=∠B=45°，AB=$\sqrt{2}$AC=$\sqrt{2}$，则S_△ABC=$\frac{1}{2}$•1•1=$\frac{1}{2}$，再根据旋转的性质得∠BAB′=30°，∠C′AB′=∠CAB=45°，∠B′=∠B=45°，AB′=AB=$\sqrt{2}$，S_△AC′B′=S_△ABC=$\frac{1}{2}$，于是得到∠B′AC=∠B′AB+∠CAB=75°，设DH=x，利用解直角三角形得到B′H=DH=x，AH=$\sqrt{3}$DH=$\sqrt{3}$x，于是得到$\sqrt{3}$x+x=$\sqrt{2}$，解得x=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$，然后根据三角形面积公式计算出S_△ADB′=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，再计算S_△AC′B′-S_△ADH即可得到阴影部分的面积．

解答 解：过点D作DH⊥AB′于H，如图，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠CAB=∠B=45°，AB=$\sqrt{2}$AC=$\sqrt{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$•1•1=$\frac{1}{2}$，
∵△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△AB′C′，
∴∠BAB′=30°，∠C′AB′=∠CAB=45°，∠B′=∠B=45°，AB′=AB=$\sqrt{2}$，S_△AC′B′=S_△ABC=$\frac{1}{2}$，
∴∠B′AC=∠B′AB+∠CAB=30°+45°=75°，
设DH=x，
在Rt△DHB′中，∵∠B′=45°，
∴B′H=DH=x，
在Rt△ADH中，∵∠DAH=30°，
∴AH=$\sqrt{3}$DH=$\sqrt{3}$x，
∵AH+B′H=AB′，
∴$\sqrt{3}$x+x=$\sqrt{2}$，解得x=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$，
∴S_△ADB′=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$•$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
∴阴影部分的面积=S_△AC′B′-S_△ADH=$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$=$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$．
故答案为75，$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质和解直角三角形．