Question

19．如图，菱形ABCD中，∠B=120°，AB=2，将图中的菱形ABCD绕点A沿逆时针方向旋转，得菱形AB′C′D′，若∠BAD′=110°，在旋转的过程中，点C经过的路线长为$\frac{{5\sqrt{3}}}{9}π$．

Answer 1

分析 连接AC、AC′，作BM⊥AC于M，由菱形的性质得出∠BAC=∠D′AC′=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出BM=$\frac{1}{2}$AB=1，由勾股定理求出AM=$\sqrt{3}$BM=$\sqrt{3}$，得出AC=2AM=2$\sqrt{3}$，求出∠CAC′=50°，再由弧长公式即可得出结果．

解答 解：连接AC、AC′，作BM⊥AC于M，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∠B=120°，
∴∠BAC=∠D′AC′=30°，
∴BM=$\frac{1}{2}$AB=1，
∴AM=$\sqrt{3}$BM=$\sqrt{3}$，
∴AC=2AM=2$\sqrt{3}$，
∵∠BAD′=110°，
∴∠CAC′=110°-30°-30°=50°，
∴点C经过的路线长=$\frac{50π×2\sqrt{3}}{180}$=$\frac{5\sqrt{3}}{9}$π；
故答案为：$\frac{{5\sqrt{3}}}{9}π$．

点评 本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、弧长公式；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理和等腰三角形的性质求出AC的长是解决问题的关键．