Question

7．为解方程（x²-1）²-5（x²-1）+4=0，我们设x²-1=y，则y²=（x²-1）²，则原方程化为y²-5y+4=0，解此方程，得y₁=1，y₂=4．
当y=1时，x²-1=1，x²=2．∴x=±$\sqrt{2}$；
当y=4时，x²-1=4，x²=5，∴x=±$\sqrt{5}$．
∴原方程的解为x₁=-$\sqrt{2}$，x₂=$\sqrt{2}$，x₃=-$\sqrt{5}$，x₄=$\sqrt{5}$
在上面的解答过程中，我们把x²-1看成一个整体，用字母y代替（即换元），使得问题简单化．明朗化，解答过程更清晰，这是解决数学问题中的一种重要方法-换元法，仿照上述方法，解答下列问题：
（1）解方程：x⁴-3x²-4=0．
（2）直角三角形中，两条直角边分别为a，b，且满足（a²+b²）（a²+b²+1）=12，求这个直角三角形的斜边长．

Answer 1

分析 （1）设x²=y，则x⁴=y²．则方程即可变形为y²-3y-4=0，解方程即可求得y即x²的值；
（2）设斜边为c，根据勾股定理c²=a²+b²代入方程求解即可．

解答 解：（1）设x²=y，x⁴=y²，则原方程可化为y²-3y-4=0，
解得y₁=-1，y₂=4．
当y=-1时，x²=-1，舍去；
当y=4时，x²=4，x=±2．
故原方程的解为：x₁=2，x₂=-2；
（2）设斜边为c，
∵a，b是一个直角三角形两条直角边的长，
∴（a²+b²）（a²+b²+1）=12，根据勾股定理得：c²（c²+1）-12=0
即（c²-3）（c²+4）=0，
∵c²+4≠0，
∴c²-3=0，
解得：c=$\sqrt{3}$或c=-$\sqrt{3}$（舍去）．
则直角三角形的斜边长为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了换元法解一元二次方程．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．