Question

14．如图，AB、CD为⊙O的直径，E为OA的中点，直线CE交⊙O于另一点F，连接DF，若⊙O的半径为4，DF=$\sqrt{15}$，CE＜EF
1）求证：△ACE∽△FBE；
2）求CE的长；
3）以F为圆心，DF为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系？为什么？

Answer 1

分析 （1）由∠ACE=∠FBE、∠AEC=∠FEB可证得；
（2）RT△CFD中由勾股定理得：CE+EF=7，由△ACE∽△FBE得：CE•EF=AE•BE=12，根据韦达定理可知CE、EF是方程x²-7x+12=0的两实数根，结合CE＜EF可得CE长；
（3）过点F作FG⊥OE于点G，在等腰△FEO中求出FG的长即可判断．

解答 解：（1）∠ACE与∠FBE是$\widehat{AF}$所对圆周角，
∴∠ACE=∠FBE，
又∵∠AEC=∠FEB，
∴△ACE∽△FBE；
（2）∵CD是⊙O的直径，
∴∠CFD=90°，
在RT△CFD中，CD=8，DF=$\sqrt{15}$，
∴CF=7，即CE+EF=7，
∵E是OA的中点，
∴AE=EO=2，BE=6，
∵△ACE∽△FBE，
∴$\frac{CE}{BE}=\frac{AE}{EF}$，即CE•EF=AE•BE=12，
∴CE、EF是方程x²-7x+12=0的两实数根，
∵CE＜EF，
∴CE=3，EF=4；
（3）以F为圆心，DF为半径的圆与直线AB相切，
如图，连接OF，过点F作FG⊥OE于点G，

∵EF=0F=4，
∴OG=EG=1，
在RT△OFG中，FG=$\sqrt{{4}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{15}$，
∴FG=DF，
∴以F为圆心，DF为半径的圆与直线AB相切．

点评 本题主要考查相似三角形的判定与性质、韦达定理、勾股定理等知识点，根据勾股定理、相似性质得出CE+EF、CE•EF的值并利用韦达定理构建一元二次方程是解题的关键．