Question

两个大小不同的等边△ABC和等边△DEC如图摆放，连接AE、BD，M、N、P、Q分别为线段AB、BD、ED、AE的中点．
（1）判断四边形MNPQ的形状，并证明你的结论；
（2）将上图中的等边△DEC绕点C顺时针旋转角度α（60°＜α＜360°）时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，画出一种情形，给出证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,等边三角形的性质,菱形的判定

专题：

分析：（1）根据等边三角形的性质可得AC=BC，CD=CE，然后求出AD=BE，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN=PQ=

1

2

AD，MQ=NP=

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2

BE，从而得到MN=NP=PQ=MQ，然后判断出四边形MNPQ是菱形；
（2）作出图形，连接AD、BE，根据等边三角形的性质可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，再求出∠ACD=∠BCE，然后利用“边角边”证明△ACD和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=BE，再同（1）证明即可．

解答：（1）解：∵△ABC和△DEC都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，
∴AD=BE，
∵M、N、P、Q分别为线段AB、BD、ED、AE的中点，
∴MN=PQ=

1

2

AD，MQ=NP=

1

2

BE，
∴MN=NP=PQ=MQ，
∴四边形MNPQ是菱形；

（2）如图，连接AD、BE，
∵△ABC和△DEC都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，

AC=BC ∠ACD=∠BCE CD=CE

，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，
∵M、N、P、Q分别为线段AB、BD、ED、AE的中点，
∴MN=PQ=

1

2

AD，MQ=NP=

1

2

BE，
∴MN=NP=PQ=MQ，
∴四边形MNPQ是菱形．

点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，菱形的判定，熟记定理是解题的关键，（2）作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．