Question

13．设a，b，c＞0，求证：（a+$\frac{1}{b}$）（b+$\frac{1}{c}$）（c+$\frac{1}{a}$）≥8．

Answer 1

分析 先根据分式的运算可得原式=$\frac{ab+1}{b}$•$\frac{bc+1}{c}$•$\frac{ac+1}{a}$，再均值不等式即可得．

解答 解：∵a，b，c＞0
∴（a+$\frac{1}{b}$）（b+$\frac{1}{c}$）（c+$\frac{1}{a}$）=$\frac{ab+1}{b}$•$\frac{bc+1}{c}$•$\frac{ac+1}{a}$≥$\frac{2\sqrt{ab}•2\sqrt{bc}•2\sqrt{ac}}{abc}$=8，
即（a+$\frac{1}{b}$）（b+$\frac{1}{c}$）（c+$\frac{1}{a}$）≥8．

点评 本题主要考查分式的混合运算及均值不等式的运用，熟练掌握均值不等式是解题的关键．