题目内容
13．已知等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，动点P在直线BC上运动（不与点B、C重合）．（1）如图1，点P在线段BC上，作∠APQ=45°，PQ交AC于点Q．
①求证：△ABP∽△PCQ；②当△APQ是等腰三角形时，求AQ的长．
（2）①如图2，点P在BC的延长线上，作∠APQ=45°，PQ的反向延长线与AC的延长线相交于点D，是否存在点P，使△APD是等腰三角形？若存在，写出点P的位置；若不存在，请简要说明理由；
②如图3，点P在CB的延长线上，作∠APQ=45°，PQ的延长线与AC的延长线相交于点Q，是否存在点P，使△APQ是等腰三角形？若存在，写出点P的位置；若不存在，请简要说明理由．
分析 （1）①根据等腰直角三角形的性质得到∠B=∠C=45°，证明∠BAP=∠QPC，根据相似三角形的判定定理证明结论；
②分AP=AQ、AP=PQ和AQ=PQ三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质解答；
（2）根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理证明△CAP∽△PAD，根据相似三角形的性质计算即可；
（3）根据三角形内角和定理进行判断即可．
解答 解：（1）①∵∠BAC=90°，AB=AC=2，
∴∠B=∠C=45°，
∵∠BAP+∠APB=135°，
∠APB+∠QPC=135°，
∴∠BAP=∠QPC，
∴△ABP∽△PCQ；
②当AP=AQ时，∠APQ=∠AQP=45°，
∴∠PAQ=90°，
∴点P与点B、点Q与点C重合，不合题意；
当AP=PQ时，∵△ABP∽△PCQ，
∴△ABP≌△PCQ，
∴AB=PC=2，
∴BP=CQ=2$\sqrt{2}$-2，
∴AQ=AC-CQ=4-2$\sqrt{2}$；
当AQ=PQ时，∠PAQ=∠APQ=45°，
∴∠APC=∠AQP=90°，
∴AQ=PQ=QC=1；
（2）存在，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAP+∠APC=45°，
∵∠APQ=45°，
∴∠CAP+∠D=45°，
∴∠APC=∠D，
∴△CAP∽△PAD，
∴$\frac{AC}{AP}$=$\frac{PC}{PD}$，又AP=PD，
∴PC=AC=2；
（3）不存在，
∵P和B不重合，
∴∠PAQ＞90°，
∴∠APQ=45°，∠AQP＜45°，
∴AP≠AQ．
点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，掌握相关的性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
练习册系列答案
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△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
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3．
在△ABC中，AB=AC，BD为△ABC的高，如果∠BAC=40°，则∠CBD的度数是（ ）
在△ABC中，AB=AC，BD为△ABC的高，如果∠BAC=40°，则∠CBD的度数是（ ）| A． | 70° | B． | 40° | C． | 20° | D． | 30° |