Question

1．如图，在四边形ABCD中，AC=AD，∠CAD=α，在CB边上取一点E，使∠DEB与∠DAC互补，探究线段AE、DE、CE的数量关系．

Answer 1

分析 截取DF=CE，过A点作AH⊥DE于H，如图，利用等角的补角相等得到∠DAC=∠DEC，再利用三角形内角和可得∠3=∠4，则利用“SAS”可判断△ADF≌△ACE，所以∠DAF=∠CAE，AF=AE，则∠DAC=∠FAE=α，接着根据等腰三角形的性质得FH=EH，∠HAE=$\frac{1}{2}$∠FAE=$\frac{1}{2}$α，然后利用正弦的定义有HE=AE•sin$\frac{1}{2}$α，则EF=2HE=2AE•sin$\frac{1}{2}$α，于是得到DE=DF+EF=CE+2AE•sin$\frac{1}{2}$α．

解答 解：截取DF=CE，过A点作AH⊥DE于H，如图，
∵∠DEB+∠DAC=180°，
而∠DEB+∠DEC=180°，
∴∠DAC=∠DEC，
而∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
在△ADF和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AC}\\{∠3=∠4}\\{DF=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ACE，
∴∠DAF=∠CAE，AF=AE，
∴∠DAF+∠FAC=∠FAC+∠CAE，
即∠DAC=∠FAE=α，
∵AH⊥EF，AF=AE，
∴FH=EH，∠HAE=$\frac{1}{2}$∠FAE=$\frac{1}{2}$α，
在Rt△AEH中，∵sin∠EAH=$\frac{HE}{AE}$，
∴HE=AE•sin$\frac{1}{2}$α，
∴EF=2HE=2AE•sin$\frac{1}{2}$α，
∵DE=DF+EF，
∴DE=CE+2AE•sin$\frac{1}{2}$α．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．解决本题的关键是在DE上截取DF=CE．