Question

2．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点O为BC的中点，点D，E分别在AB，AC上滑动且保持BD=AE．在滑动过程中△ODE与△ABC会相似吗？会永远相似吗？请说明你的结论．

Answer 1

分析 根据等腰直角三角形斜边上的中线性质得到OA=OB，OA⊥BC，∠CAO=45°，则可证明△AOE≌△BOD，得到OE=OD，∠AOE=∠BOD，于是可判断△DOE为等腰直角三角形，然后根据相似三角形的判断方法可判断△ODE∽△ABC．

解答 解：在滑动过程中△ODE与△ABC永远相似．理由如下：
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∵点O为BC的中点，
∴OA=OB，OA⊥BC，∠CAO=45°，
在△AOE和△BOD中，
$\left\{\begin{array}{l}{\;}\\{AE=BD}\\{∠OAE=∠B}\\{AO=BO}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△BOD，
∴OE=OD，∠AOE=∠BOD，
而∠AOE+∠AOD=90°，即∠DOE=90°，
∴△DOE为等腰直角三角形，
∴△ODE∽△ABC．

点评 本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．解决本题的关键是利用等腰直角三角形的性质证明△AOE与△BOD全等，从而判断△ODE为等腰直角三角形．