Question

16．如图，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（4，0）、（0，2），对角线的交点为P，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象经过点P，与边BA、BC分别交于点D、E，连接OD、OE、DE，则△ODE的面积为$\frac{15}{4}$．

Answer 1

分析 根据矩形的性质可以找出点B、P的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数解析式，再分别代入x=4、y=2即可得出点D、E的坐标，利用分割图形求面积法即可得出结论．

解答 解：∵四边形OABC是矩形，且A（4，0）、C（0，2），
∴B（4，2），
∵点P为对角线的交点，
∴P（2，1）．
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点P，
∴k=2×1=2，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{2}{x}$．
令y=$\frac{2}{x}$中x=4，则y=$\frac{1}{2}$，
∴D（4，$\frac{1}{2}$）；
令y=$\frac{2}{x}$中y=2，则x=1，
∴E（1，2）．
S_△ODE=S_矩形OABC-S_△OCE-S_△OAD-S_△BDE=OA•OC-$\frac{1}{2}$k-$\frac{1}{2}$k-$\frac{1}{2}$BD•BE=$\frac{15}{4}$．
故答案为：$\frac{15}{4}$．

点评 本题考查了矩形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例系数k的几何意义，解题的关键是求出反比例函数解析式以及点B、D、E的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用分割图形求面积法是关键．