Question

20．（1）已知二次函数y=（m²-2）x²-4mx+n的图象的最高点在直线y=$\frac{1}{2}$x+1上，当对称轴x=2时，求解析式；
（2）当y=-x²+bx+c顶点在y=x+1上移动到M点时，图象与x轴恰交于A、B点，S_△ABM=8，求二次函数解析式．

Answer 1

分析 （1）根据函数的对称轴x=2，此图象顶点的横坐标为2，此点在直线y=$\frac{1}{2}$x+1上，可求得y=（m²-2）x²-4mx+n的图象顶点坐标为（2，2）．从而求得m=-1或m=2，利用最高点在直线上可得a＜0，所以m=-1，n=-2，从而求得二次函数的表达式．
（2）首先假设顶点在直线y=x+1上移动到点M，设M（h，h+1），利用抛物线的开口方向不变，a=-1，得出二次函数的顶点式，再整理为一般形式，利用抛物线与x轴交点距离公式AB=$\frac{\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{|a|}$求出h的值，进而得出二次函数的解析式即可．

解答 解：（1）∵二次函数的对称轴x=2，此图象顶点的横坐标为2，此点在直线y=$\frac{1}{2}$x+1上．
∴y=$\frac{1}{2}$×2+1=2．
∴y=（m²-2）x²-4mx+n的图象顶点坐标为（2，2）．
∴-$\frac{-4m}{2（{m}^{2}-2）}$=2．
解得m=-1或m=2．
∵最高点在直线上，∴a＜0，
∴m=-1．
∴y=-x²+4x+n顶点为（2，2）．
∴2=-4+8+n．∴n=-2．
则y=-x²+4x-2．
（2）因为顶点在直线y=x+1上移动到点M，设M（h，h+1），
因为抛物线的开口方向不变，a=-1，
设y=-（x-h）²+h+1，
=-x²+2hx-h²+h+1，
AB=$\frac{\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{|a|}$=$\sqrt{△}$=$\sqrt{4h+4}$，
由S_△ABM=8，
所以：$\frac{1}{2}$×$\sqrt{4h+4}$×（h+1）=8，
设$\sqrt{h+1}$=t，则$\sqrt{4h+4}$=2t，h+1=t²，
$\frac{1}{2}$×2t×t²=8，
则t³=8，
故t=2，即h=3，代入y=-x²+2hx-h²+h+1得，
故此时解析式为：y=-x²+6x+4．

点评 此题主要考查了二次函数的综合应用以及二次函数的性质，根据抛物线的平移不改变a的值以及抛物线与x轴交点距离公式AB=$\frac{\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{|a|}$求出是解题关键．．