Question

4．如图，抛物线y=ax²-4ax+3a（a＞0），与y轴交于点A，在x轴的正半轴上取一点B，使OB=2OA，抛物线的对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点D，与直线AB交于点E，连接BC．
（1）求点B，C的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）若△BCD与△BDE相似，求a的值；
（3）连接OE，记△OBE的外心为M，点M到直线AB的距离记为h，请探究h的值是否会随着a的变化而变化？如果变化，请写出h的取值范围；如果不变，请求出h的值．

Answer 1

分析 （1）令x=0代入抛物线可得y=3a，即OA=3a，因为OB=2OA，所以B的坐标为（6a，0），点C时抛物线的顶点，利用顶点坐标公式即可求出C的坐标为（2，-a）；
（2）由于点B的位置不确定，所以分三种情况讨论，一是点B在点D的左侧，二是点B在点D的右侧，三是点B与点D重合，其中第三种情况是不存在△BCD与△BDE；另外，△BCD与△BDE相似时，有两种情况，一是∠DBC=∠EBD，二是∠DBE=∠DBC，利用相似三角形的性质即可求出a的值；
（3）由于点B的位置不确定，所以分三种情况讨论，一是点B在点D的左侧，二是点B在点D的右侧，三是点B与点D重合，其中第三种情况是不存在△OBE，由题意知：点M在OB和BE的垂直平分线上，设OB和BE的垂直平分线交于点M，其中OB的垂直平分线与OB交于点G，BE的垂直平分线交OB于点H，交BE于点F，利用相似三角形的性质求出MF的长度即可；

解答 解：（1）由抛物线的解析式可知：点C的坐标为（2，-a），
令x=0代入y=ax²-4ax+3a，
∴y=3a，
∴OA=3a，
∵OB=2OA=6a，
∴点B的坐标为（6a，0）；

（2）由（1）可知：OD=2，CD=a，OB=6a，
若点B在点D的右侧时，如图1，
则6a＞2，
∴a＞$\frac{1}{3}$，
∴BD=6a-2，
当∠DBC=∠EBD时，
∴tan∠DBC=tan∠EBD=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CD}{BD}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{a}{6a-2}$=$\frac{1}{2}$，
∴a=$\frac{1}{2}$，
当∠DCB=∠EBD时，
∴tan∠DCB=tan∠EBD=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{6a-2}{a}=\frac{1}{2}$，
∴a=$\frac{4}{11}$，
若点B在点D的左侧时，如图2，
则0＜6a＜2，
∴0＜a＜$\frac{1}{3}$，
∴BD=2-6a，
当∠DBC=∠EBD时，
∴tan∠DBC=tan∠EBD=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CD}{BD}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{a}{2-6a}$=$\frac{1}{2}$，
∴a=$\frac{1}{4}$，
当∠DCB=∠EBD时，
∴tan∠DCB=tan∠EBD=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{2-6a}{a}$=$\frac{1}{2}$，
∴a=$\frac{4}{13}$，
若点B与点D重合时，
则6a=2，
∴a=$\frac{1}{3}$，
此情况不存在△BCD与△BDE，
综上所述，a的值为$\frac{1}{2}$、$\frac{4}{11}$、$\frac{4}{13}$和$\frac{1}{4}$；

（3）由题意知：点M在OB和BE的垂直平分线上，
设OB和BE的垂直平分线交于点M，
其中OB的垂直平分线与OB交于点G，
BE的垂直平分线交OB于点H，交BE于点F
当点B在点D的右侧时，如图3，
∴6a＞2，
∴a＞$\frac{1}{3}$，
∴BD=6a-2，
∵tan∠EBD=$\frac{1}{2}$，
∴ED=$\frac{1}{2}$BD=3a-1，
由勾股定理可求得：BE=3$\sqrt{5}$a-$\sqrt{5}$，
∴BF=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{3\sqrt{5}a-\sqrt{5}}{2}$，
∴HF=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{3\sqrt{5}a-\sqrt{5}}{4}$，
∴由勾股定理可求得：BH=$\frac{15a-5}{4}$，
∴HG=BG-BH=$\frac{5-3a}{4}$，
∵∠GMH=∠EBD，
∴sin∠GMH=sin∠EBD=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴MH=$\sqrt{5}$HG=$\frac{5\sqrt{5}-3\sqrt{5}a}{4}$，
∴MF=MH+HF=$\sqrt{5}$，
当点B在点D的左侧时，
∴0＜a＜$\frac{1}{3}$，
∴BD=OD-OB=2-6a，
∵tan∠ABO=tan∠DBE=$\frac{1}{2}$，
∴DE=$\frac{1}{2}$BD=1-3a，
∴由勾股定理可求得：BE=$\sqrt{5}$-3$\sqrt{5}$a，
∴BF=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{\sqrt{5}-3\sqrt{5}a}{2}$，
∴HF=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{\sqrt{5}-3\sqrt{5}a}{4}$，
由勾股定理求得：BH=$\frac{5-15a}{4}$，
∵GB=$\frac{1}{2}$OB=3a，
∴GH=GB+BH=$\frac{5-3a}{4}$，
∵∠HBF+∠BHF=90°，
∠GMH+∠BHF=90°，
∴∠HBF=∠GMH，
∴sin∠HBF=sin∠GMH=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴MH=$\sqrt{5}$GH=$\frac{5\sqrt{5}-3\sqrt{5}a}{4}$，
∴MF=MH-HF=$\sqrt{5}$，
当点B与点D重合时，
此时a=$\frac{1}{3}$，
此情况不符合题意，舍去
综上所述，点M到直线AB的距离不会变化，始终为$\sqrt{5}$．

点评 本题考查二次函数的综合问题，涉及已知解析式求坐标的问题，相似三角形的性质与判定，需要学生利用分类讨论的思想解答，并且能灵活运用所学知识．