Question

9．若平面直角坐标系中，两点关于过原点的一条直线对称，则这两点就是互为镜面点，这条直线叫镜面直线，如A（2，3）和B（3，2）是以y=x为镜面直线的镜面点．
（1）M（4，1）和N（-1，-4）是一对镜面点，则镜面直线为y=-x；
（2）以y=$\sqrt{3}$x为镜面直线，E（-2，0）的镜面点为（1，-$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 （1）求得线段MN的中点，然后根据待定系数法即可求得；
（2）根据题意求得经过E（-2，0）和它的镜面点的直线的解析式，然后联立方程求得交点坐标，根据轴对称的性质即可求得镜面点的坐标．

解答 解：（1）设直线MN的解析式为y=kx+b，
∵M（4，1）和N（-1，-4），
∴线段MN的中点为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
∵镜面直线经过原点和（$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
∴镜面直线为y=-x；
（2）∵y=$\sqrt{3}$x为镜面直线，
∴经过E（-2，0）和它的镜面点的直线为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b，
∴$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+b=0，
∴b=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
设镜面点为（x，y），
∴$\frac{-2+x}{2}$=-$\frac{1}{2}$，$\frac{0+y}{2}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得x=1，y=-$\sqrt{3}$，
∴镜面点为$（1，-\sqrt{3}）$；
故答案为y=-x；（1，-$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了一次函数图象与几何变换，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．