如图.在平面直角坐标系中.点O为坐标原点.等腰△ABC.AB=AC.点B在x轴负半轴上.点C在x轴正半轴上.点A在y轴正半轴上.且BC=OA.△ABC的面积为32．点D为AO中点.过点D的直线l平行于x轴．动点P在x轴上从点B出发以每秒1个单位长度的速度向终点C运动.同时点Q在y轴上从点A出发以每秒2个单位长度的速度向y轴负半轴运动.设运动时间为t秒.当点P停止运动时点Q� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，等腰△ABC，AB=AC，点B在x轴负半轴上，点C在x轴正半轴上，点A在y轴正半轴上，且BC=OA，△ABC的面积为32．点D为AO中点，过点D的直线l平行于x轴．动点P在x轴上从点B出发以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，同时点Q在y轴上从点A出发以每秒2个单位长度的速度向y轴负半轴运动，设运动时间为t（t＞0）秒，当点P停止运动时点Q同时停止运动．

（1）求点C的坐标．
（2）当点Q在线段AD上时，设△PQD的面积为S，请用含t的式子来表示S．
（3）点E为直线l上一点，是否存在t值使△PQE为等腰直角三角形？若存在求t值并直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据三角形ABC的面积求出AB和OC的长，得出点C的坐标；
（2）由同时开始，用时间t表示出DQ=4-2t，PO=4-t，求出s与t的函数关系式；
（3）满足△MNP为等腰直角三角形的情形有三种，利用点E既是PQ的垂直平分线上，也在直线l上，根据勾股定理和平面坐标系中两直线互相垂直，比例系数的积为-1，求出t和D点的坐标．

解答解：（1）△ABC的面积=$\frac{1}{2}$BC•AO=32，
∵BC=OA，
∴BC=8，OC=OB=$\frac{1}{2}$BC=4，
故点C的坐标为（0，4）．
（2）依照题意画出图形，如图1所示．

∵BC=OA=8，
∴点P的坐标为（t-4，0），点Q的坐标（0，8-2t），点D的坐标为（0，4），
∴DQ=4-2t，PO=4-t．
△PQD的面积S=$\frac{1}{2}$DQ•PO=$\frac{1}{2}$×（4-2t）×（4-t）=t²-6t+8．
∵点Q在线段AD上，
∴DQ=4-2t≥0，即t≤2．
故△PQD的面积S关于时间t的关系式为y=t²-6t+8（0≤t≤2）．
（3）假设存在，设点E的坐标为（m，4），
由（2）可知点P的坐标为（t-4，0），点Q的坐标（0，8-2t）．
结合两点间的距离公式可得：PE=$\sqrt{（m-t+4）^{2}+{4}^{2}}$，EQ=$\sqrt{{m}^{2}+（4-8+2t）^{2}}$，PQ=$\sqrt{（t-4）^{2}+（-8+2t）^{2}}$．
△PQE为等腰直角三角形分三种情况：
①PE=EQ，且PE²+EQ²=PQ²，点E在线段PQ的垂直平分线上，
∴PQ的中点M（$\frac{t-4}{2}$，4-t），
∴直线EQ的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+8-2t，
∵点M在直线l上，
∴y=4，
即$\frac{1}{2}$m+8-2t=4，
∴m=-2-$\frac{3}{2}$t，
∵EQ²+PE²=PQ²，
∴2PE²=PQ²，
∴2[（t-4-m）²+16]=5（t-4）²，
∴t=-$\frac{4}{3}$（舍）或t=4（∵t=4时，点P，Q重合，∴舍去），
②当PE=PQ时，且PE²+PQ²=EQ²，
∴直线PE的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$（t-4），
∵点E在直线l上，
∴-$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{2}$（t-4），
∴m=t-4，
∴10（t-4）²=m²+（4-2t）²，
∴t=$\frac{16}{5}$，m=-$\frac{4}{5}$或t=8，m=0，
∴E（-$\frac{4}{5}$，4）或E（0，4），
③当QE=PQ时，且QE²+PQ²=PE²，
∴直线QE的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+8-2t，
∵点E在直线l上，
∴-$\frac{1}{2}$m+8-2t=4，
∴m=8-4t，
∵QE²+PQ²=PE²，
∴10（t-4）²=（t-4-m）²+16，
∴t=0，m=8或t=$\frac{8}{3}$，m=-$\frac{8}{3}$，
∴E（$\frac{8}{3}$，4）或E（-$\frac{8}{3}$，4），
即：t=$\frac{16}{5}$，E（-$\frac{4}{5}$，4）或t=8，E（0，4）或t=0，E（$\frac{8}{3}$，4）或t=$\frac{8}{3}$，E（-$\frac{8}{3}$，4）．