Question

12．如图，⊙O是以原点为圆心，2为半径的圆，点P是直线y=-x+4上的一点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为2．

Answer 1

分析 先根据坐标轴上点的坐标特征确定B（0，4），A（4，0），则可判断△OAB为等腰直角三角形，所以AB=$\sqrt{2}$OA=4$\sqrt{2}$，OH=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{2}$，再根据切线的性质，由PQ为⊙O的切线得到OQ⊥PQ，根据勾股定理得到PQ=$\sqrt{{OP}^{2}{-OQ}^{2}}$=$\sqrt{{OP}^{2}-4}$，所以当OP最小时，PQ最小，根据垂线段最短得到OP=OH时，OP最小，即可计算出切线长PQ的最小值=2．

解答 解：连结OP，OQ，作OH⊥AB于H，如图，
当x=0时，y=-x+4=4，则B（0，4）；当y=0时，-x+4=0，解得x=4，则A（4，0），
∵OA=OB，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴AB=$\sqrt{2}$OA=4$\sqrt{2}$，
∵OH⊥AB，
∴OH=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{2}$，
∵PQ为⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ，
在Rt△POQ中，PQ=$\sqrt{{OP}^{2}{-OQ}^{2}}$=$\sqrt{{OP}^{2}-4}$，
∴当OP最小时，PQ最小，
而OP=OH时，OP最小，
∴切线长PQ的最小值=$\sqrt{{（2\sqrt{2}）}^{2}{-2}^{2}}$=2，
故答案为：2．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．