Question

12．某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种水果每次降价的百分率；
（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜15）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？

时间x（天）	1≤x＜9	9≤x＜15	x≥15
售价（元/斤）	第1次降价后的价格	第2次降价后的价格
销量（斤）	80-3x	120-x
储存和损耗费用（元）	40+3x	3x2-64x+400

（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？

Answer 1

分析 （1）设这个百分率是x，根据某商品原价为10元，由于各种原因连续两次降价，降价后的价格为8.1元，可列方程求解；
（2）根据两个取值先计算：当1≤x＜9时和9≤x＜15时销售单价，由利润=（售价-进价）×销量-费用列函数关系式，并根据增减性求最大值，作对比；
（3）设第15天在第14天的价格基础上最多可降a元，根据第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，列不等式可得结论．

解答 解：（1）设该种水果每次降价的百分率是x，
10（1-x）²=8.1，
x=10%或x=190%（舍去），
答：该种水果每次降价的百分率是10%；
（2）当1≤x＜9时，第1次降价后的价格：10×（1-10%）=9，
∴y=（9-4.1）（80-3x）-（40+3x）=-17.7x+352，
∵-17.7＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=1时，y有最大值，
y_大=-17.7×1+352=334.3（元），
当9≤x＜15时，第2次降价后的价格：8.1元，
∴y=（8.1-4.1）（120-x）-（3x²-64x+400）=-3x²+60x+80=-3（x-10）²+380，
∵-3＜0，
∴当9≤x≤10时，y随x的增大而增大，
当10＜x＜15时，y随x的增大而减小，
∴当x=10时，y有最大值，
y_大=380（元），
综上所述，y与x（1≤x＜15）之间的函数关系式为：y=$\left\{\begin{array}{l}{-17.7x+352（1≤x＜9）}\\{-3{x}^{2}+60x+80（9≤x＜15）}\end{array}\right.$，
第10天时销售利润最大；
（3）设第15天在第14天的价格基础上最多可降a元，
由题意得：380-127.5≤（4-a）（120-15）-（3×15²-64×15+400），
252.5≤105（4-a）-115，
a≤0.5，
答：第15天在第14天的价格基础上最多可降0.5元．

点评 本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的有关知识，解题的关键是正确的找到题目中的等量关系且利用其列出方程，注意第2问中x的取值，两个取值中的最大值才是最大利润．