Question

1．如图，MN是⊙O的直径，MN=4，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为$\widehat{AN}$的中点，P是直径MN上一动点．
（1）利用尺规作图，确定当PA+PB最小时P点的位置（不写作法，但要保留作图痕迹）．
（2）求PA+PB的最小值．

Answer 1

分析 （1）作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，与MN的交点即为点P；
（2）由（1）可知，PA+PB的最小值即为A′B的长，连接OA′、OB、OA，先求∠A′OB=∠A′ON+∠BON=60°+30°=90°，再根据勾股定理即可得出答案．

解答 解：（1）如图1所示，点P即为所求；


（2）由（1）可知，PA+PB的最小值即为A′B的长，连接OA′、OB、OA，

∵A′点为点A关直线MN的对称点，∠AMN=30°，
∴∠AON=∠A′ON=2∠AMN=2×30°=60°，
又∵B为$\widehat{AN}$的中点，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{BN}$，
∴∠BON=∠AOB=$\frac{1}{2}$∠AON=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=60°+30°=90°，
又∵MN=4，
∴OA′=OB=$\frac{1}{2}$MN=$\frac{1}{2}$×4=2，
∴Rt△A′OB中，A′B=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，即PA+PB的最小值为2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查作图-复杂作图及轴对称的最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质和圆周角定理、圆心角定理是解题的关键．