Question

17．如图，AB=16，O为AB中点，点C在线段OB上（不与点O，B重合），将OC绕点O逆时针旋转270°后得到扇形COD，AP，BQ分别切优弧$\widehat{CD}$于点P，Q，且点P，Q在AB异侧，连接OP．
（1）求证：AP=BQ；
（2）当BQ=4$\sqrt{3}$时，求$\widehat{QD}$的长（结果保留π）；
（3）若△APO的外心在扇形COD的内部，求OC的取值范围．

Answer 1

分析 （1）连接OQ．只要证明Rt△APO≌Rt△BQO即可解决问题；
（2）求出优弧DQ的圆心角以及半径即可解决问题；
（3）由△APO的外心是OA的中点，OA=8，推出△APO的外心在扇形COD的内部时，OC的取值范围为4＜OC＜8；

解答 （1）证明：连接OQ．

∵AP、BQ是⊙O的切线，
∴OP⊥AP，OQ⊥BQ，
∴∠APO=∠BQO=90°，
在Rt△APO和Rt△BQO中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{OP=OQ}\end{array}\right.$，
∴Rt△APO≌Rt△BQO，
∴AP=BQ．

（2）∵Rt△APO≌Rt△BQO，
∴∠AOP=∠BOQ，
∴P、O、Q三点共线，
∵在Rt△BOQ中，cosB=$\frac{QB}{OB}$=$\frac{4\sqrt{3}}{8}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠B=30°，∠BOQ=60°，
∴OQ=$\frac{1}{2}$OB=4，
∵∠COD=90°，
∴∠QOD=90°+60°=150°，
∴优弧$\widehat{QD}$的长=$\frac{210•π•4}{180}$=$\frac{14}{3}$π，

（3）∵△APO的外心是OA的中点，OA=8，
∴△APO的外心在扇形COD的内部时，OC的取值范围为4＜OC＜8．

点评 本题考查切线的性质、弧长公式、全等三角形的判定和性质、三角形的外心等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．